더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값

특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자.

각 $(a)$		$\sin (a)$ 또는 $\cos (b)$			각 $(b)$
deg	rad				deg	rad
0	0	${\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}}$	$=$	$0$	90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	60	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$			45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
60	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$			30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2}}$	$=$	$1$	0	0

이번 글에서는 위의 표를 더 많은 특수각들에 대한 삼각함수의 값을 포함하도록 확장해볼 것이다. 물론 삼각함수에 대한 다양한 공식을 (합공식, 반각공식, 배각공식 등...) 활용하여 아래의 값들을 구할 수도 있지만, 아래 표에서 볼 수 있듯이 파란색으로 표시한 부분의 숫자만이 변화하기 때문에, 일단 규칙을 외워두면 일반적인 삼각함수의 값 또한 더욱 빨리 계산할 수 있을 것이다.

각 $(a)$		$\sin (a)$ 또는 $\cos (b)$			각 $(b)$
deg	rad				deg	rad
0	0	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{4}}}{2}}$	$=$	$0$	90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
15	${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$			75	${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$
22.5	${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$			67.5	${\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$
30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	60	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mp \sqrt{0}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
60	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
67.5	${\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$			22.5	${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$
75	${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$			15	${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$
90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{4}}}{2}}$	$=$	$1$	0	0

한발 더 나아가 보자. 황금비를 이용하면 더 많은 삼각함수의 값을 나타낼 수 있다. 여기서 황금비 $\mathrm{\Phi }$, $\varphi$란 아래의 두 값

$$\mathrm{\Phi }=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1.618\cdots ,\varphi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.618\cdots$$

를 각각 나타낸다. 이 값들을 이용하여 더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값을 표현할 수 있다. 역시 파란색으로 표시한 숫자들의 변화에 주목하자.

각 $(a)$		$\sin (a)$ 또는 $\cos (b)$			각 $(b)$
deg	rad				deg	rad
0	0	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+2}}}{2}}$	$=$	$0$	90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
9	${\displaystyle \frac{\pi }{20}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\mathrm{\Phi }}}}{2}}$			81	${\displaystyle \frac{9\pi }{20}}$
15	${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$	75	${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$
18	${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\varphi }}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\mathrm{\Phi }}}{2}}$	72	${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$
22.5	${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2\pm 0}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$	67.5	${\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$
27	${\displaystyle \frac{3\pi }{20}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2-\varphi }}}{2}}$			63	${\displaystyle \frac{7\pi }{20}}$
30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2-1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	60	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
36	${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2-\mathrm{\Phi }}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2-\varphi }}{2}}$	54	${\displaystyle \frac{3\pi }{10}}$
45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mp \sqrt{2-2}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	45	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
54	${\displaystyle \frac{3\pi }{10}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2-\mathrm{\Phi }}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\varphi }}{2}}$	36	${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$
60	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2-1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	30	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
63	${\displaystyle \frac{7\pi }{20}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2-\varphi }}}{2}}$			27	${\displaystyle \frac{3\pi }{20}}$
67.5	${\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2\mp 0}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}$	22.5	${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$
72	${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\varphi }}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{2+\mathrm{\Phi }}{2}}$	18	${\displaystyle \frac{1\pi }{10}}$
75	${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}{2}}$	$=$	${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{2}}$	15	${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$
81	${\displaystyle \frac{9\pi }{20}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\mathrm{\Phi }}}}{2}}$			9	${\displaystyle \frac{\pi }{20}}$
90	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}{2}}$	$=$	$1$	0	0