Problems and Solutions #028

Problem #028

적당한 각 $\theta$에 대하여, 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

$$\begin{array}{}(\ast )& \tan \theta +\sec \theta =2017.\end{array}$$

이 때, $\cot \theta +\csc \theta$의 값을 구하여라.

먼저 식 $(\ast )$의 양변에 $\tan \theta -\sec \theta$를 곱해주면,

$$\begin{array}{rl}2017(\tan \theta -\sec \theta )& =(\tan \theta +\sec \theta )(\tan \theta -\sec \theta )\\ & ={\tan }^2\theta -{\sec }^2\theta \\ & =-1\end{array}$$

을 얻는다. 위 식을 정리하면,

$$\begin{array}{}(\ast \ast )& \sec \theta -\tan \theta =\frac{1}{2017}.\end{array}$$

이제 연립방정식 $(\ast )$, $(\ast \ast )$를 풀어주면,

$$\tan \theta =\frac{{2017}^2-1}{2\cdot 2017},\sec \theta =\frac{{2017}^2+1}{2\cdot 2017}$$

를 얻는다. 이 때, $\tan \theta$와 $\sec \theta$의 값이 모두 양수이므로, (각 $\theta$는 제 1사분면에 위치해야 하고, 따라서) $0<\theta <\frac{\pi }{2}$임을 알 수 있다. 이를 바탕으로 $\cot \theta$와 $\csc \theta$의 값을 각각 구해보면,

$$\begin{array}{rl}\cot \theta & =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{2\cdot 2017}{{2017}^2-1},\\ \csc \theta & =\cot \theta \cdot \sec \theta =\frac{2\cdot 2017}{{2017}^2-1}\cdot \frac{{2017}^2+1}{2\cdot 2017}=\frac{{2017}^2+1}{{2017}^2-1}\end{array}$$

그러므로,

$$\begin{array}{rl}\cot \theta +\csc \theta & =\frac{2\cdot 2017}{{2017}^2-1}+\frac{{2017}^2+1}{{2017}^2-1}=\frac{2\cdot 2017+{2017}^2+1}{{2017}^2-1}\\ & =\frac{(2017+1{)}^2}{{2017}^2-1}=\frac{(2017+1{)}^2}{(2017+1)(2017-1)}=\frac{2017+1}{2017-1}=\frac{1009}{1008}.\end{array}$$

따라서 $\cot \theta +\csc \theta =\frac{1009}{1008}$을 얻는다.