소수의 역수의 합과 소수의 무한성

$$조화급수(harmonic series)의 합, 즉 자연수의 역수의 합이 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다. 

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$$

자연수의 역수의 합이 무한대임을 보이는 방법을 응용하면, 짝수의 역수의 합 또는 홀수의 역수의 합 또한 양의 무한대로 발산한다는 사실을 쉽게 보일 수 있다. 하지만 자연수의 제곱의 역수의 합은 수렴하며 그 값이 $\frac{{\pi }^2}{6}$라는 사실이 알려져 있다.

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

이번에는 소수의 역수의 합에 대하여 생각해 보자. 이 값은 수렴할까? 또는 발산하게 될까? 

소수의 역수의 합과 소수의 무한성

정리 1. 소수의 역수의 합

소수의 역수의 합은 양의 무한대로 발산한다.

증명. 먼저 모든 소수의 집합을 $\mathbb{P}$로 나타내기로 하자. 그러면 우리가 구하고자 하는 값은

$$\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p}$$

와 같이 나타낼 수 있다. 이제 $p\ge 2$이므로, 기하급수(geometric series)의 합 공식과 산술의 기본법칙(fundamental theorem of arithmetic)에 의해

$$\begin{array}{}(\ast )& \prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}{(1-\frac{1}{p})}^{-1}=\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^k}\ge \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}>{\int }_1^n\frac{1}{x}dx=\ln (n)\end{array}$$

를 얻는다. 따라서 위 부등식 $(\ast )$의 양변에 역수를 취하고

$$\frac{1}{\ln (n)}>\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}(1-\frac{1}{p})$$

자연로그를 씌워주면

$$\begin{array}{}(\ast \ast )& -\ln (\ln (n))>\ln (\prod _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}(1-\frac{1}{p}))=\sum _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}\ln (1-\frac{1}{p})\end{array}$$

를 얻을 수 있다. 이제 함수 $f(x)=\ln (1-x)+2x$의 그래프를 생각해 보자. 그러면 구간 $(0,\frac{1}{2}]$에서 $f(x)>0$임을 쉽게 확인 할 수 있다. 그러므로 위 관찰과 부등식 $(\ast \ast )$에 의하여

$$-\ln (\ln (n))>\sum _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}\ln (1-\frac{1}{p})>-\sum _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}\frac{2}{p}$$

를 얻는다. 이제 양변을 $-2$로 나누어 주고, $n\to \mathrm{\infty }$의 극한을 취해주면

$$\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{\begin{array}{c}p\le n\\ p\in \mathbb{P}\end{array}}\frac{1}{p}\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\ln (\ln (n))=\mathrm{\infty }$$

따라서 소수의 역수의 합은 발산한다.

소수의 역수의 합이 발산한다는 사실로부터 소수의 개수가 무한함을 간단히 보일 수 있다.

따름정리 2. 소수의 무한성

소수는 개수는 무한하다.

증명. 소수의 역수의 합이 발산하므로 급수와 극한의 관계에 의해

$$\underset{\begin{array}{c}p\le n\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\frac{1}{p}=0$$

이어야만 한다. 하지만 소수의 개수가 유한하다면 충분히 큰 양의 정수 $M$에 대하여 모든 $p\in \mathbb{P}$에 대하여 $p\le M$이라고 할 수 있고 따라서 모든 $p\in \mathbb{P}$에 대하여 $\frac{1}{p}\ge \frac{1}{M}$을 얻는다. 하지만 이는 $\frac{1}{p}$의 극한이 $0$이라는 사실과 모순이므로 소수의 개수는 무한하다.