사차방정식 $x^4 - 3x + 2 = 0$의 네 근을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 이 때, $a^3 + b^3 + c^3 + d^3$의 값을 구하여라.
풀이1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해
\[ a + b + c + d = 0, \quad abc + abd + acd + bcd = 3 \]
임을 알 수 있다. 따라서
\begin{align*} 0 &= (a + b + c + d)^3 \\[5px] &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \\ & \qquad\; + 3a^2(b + c + d) + 3b^2(a + c + d) + 3c^2(a + b + d) + 3d^2(a + b + c) \\ & \qquad\; + 6(abc + abd + acd + bcd) \\[5px] &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \\ & \qquad\; + 3a^2(-a) + 3b^2(-b) + 3c^2(-c) + 3d^2(-d) \\ & \qquad\; + 6(3) \\[5px] &= -2(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) + 18 \end{align*}
따라서 $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 9$를 얻는다.
풀이2. 우선 $x=0$은 방정식의 해가 아니므로, 주어진 사차방정식을 변형하d여
\[ x^4 = 3x - 2 \implies x^3 = 3 - \frac{2}{x} \]
를 얻는다. 따라서
\[ a^3 + b^3 + c^3 + d^2 = 12 - 2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right) \]
임을 알 수 있다. 이제 주어진 사차방정식에 $x= \tfrac{1}{y}$를 대입하여 정리하면,
\[ \frac{1}{y^4} - \frac{3}{y} + 2 = 0 \implies 2y^4 - 3y^3 + 1 = 0 \]
위 사차방정식의 네 근은 각각 $\tfrac{1}{a}$, $\tfrac{1}{b}$, $\tfrac{1}{c}$, $\tfrac{1}{d}$이고 근과 계수와의 관계에 의해
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{3}{2} \]
임을 알 수 있다. 따라서
\[ a^3 + b^3 + c^3 + d^2 = 12 - 2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right) = 12 - 2 \left( \frac{3}{2} \right) = 9 \]
를 얻는다.
