Problems and Solutions #035

Problem #035

사차방정식 $x^4-3x+2=0$의 네 근을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 이 때, $a^3+b^3+c^3+d^3$의 값을 구하여라.

풀이1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

$$a+b+c+d=0,abc+abd+acd+bcd=3$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$\begin{array}{rl}0& =(a+b+c+d{)}^3\\ & =a^3+b^3+c^3+d^3\\ & +3a^2(b+c+d)+3b^2(a+c+d)+3c^2(a+b+d)+3d^2(a+b+c)\\ & +6(abc+abd+acd+bcd)\\ & =a^3+b^3+c^3+d^3\\ & +3a^2(-a)+3b^2(-b)+3c^2(-c)+3d^2(-d)\\ & +6(3)\\ & =-2(a^3+b^3+c^3+d^3)+18\end{array}$$

따라서 $a^3+b^3+c^3+d^3=9$를 얻는다.

풀이2. 우선 $x=0$은 방정식의 해가 아니므로, 주어진 사차방정식을 변형하d여

$$x^4=3x-2⟹x^3=3-\frac{2}{x}$$

를 얻는다. 따라서

$$a^3+b^3+c^3+d^2=12-2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})$$

임을 알 수 있다. 이제 주어진 사차방정식에 $x=\frac{1}{y}$를 대입하여 정리하면,

$$\frac{1}{y^4}-\frac{3}{y}+2=0⟹2y^4-3y^3+1=0$$

위 사차방정식의 네 근은 각각 $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$, $\frac{1}{d}$이고 근과 계수와의 관계에 의해

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{3}{2}$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$a^3+b^3+c^3+d^2=12-2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})=12-2\left(\frac{3}{2}\right)=9$$

를 얻는다.