'Algebra/Number Theory'에 해당되는 글 21건

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장
산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$. 이번 글에서는 산술 도함수의 정의역을 ($0$과 음의 정수를 포함한) 정수, 그리고 더 나아가 유리수까지 확장해 볼 것이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 유리수로의 확장 먼저 산술 도함수의 정의를 정수 범위까지 확장해 보도록 하자. 이때, 산술 도함수가 정수 범위까지 확장되더라도 산..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:39
산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질
미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의 미분법을 만족하는 연산자를 정의할 수 있는데, 이것이 앞으로 살펴 볼 산술 도함수이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 정의와 기본 성질 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 산술 도함수(arithemetic derivative)를 다음과 같이 정의한다. 아래 정의에서 (2)는 산술 도함수가 일반적인 도함수의 곱의 미분법을 만족해야 함을 보여준다. 정의 1. 산술 도함수(arithemetic derivative) 산술 도함수 $(\cdot)' : \N \to ..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:34
르장드르의 정리(Legendre's theorem)와 쿠머의 정리(Kummer's theorem)
소수 $p$가 주어졌다고 하자. $0$이 아닌 임의의 정수 $n$에 대하여, $n$의 $p$진 값매김($p$-adic valuation)은 $\nu_{p}(n)$을 $p^{\nu}$가 $n$를 나누게 하는 양의 정수 $\nu$ 중 가장 큰 수로 정의한다. 또한 $\nu_{p}(0) = \infty$로 정의한다. 즉, \[ \nu_{p}(n) = \begin{cases} \max \{\nu \in \N \, : \, p^{\nu} \mid n \} & \text{if} \;\; n \neq 0 \\[5px] \infty & \text{if} \;\; n = 0 \end{cases} \] 으로 정의된다. 따라서 정의에 의해서 $\nu_{p}(n)$은 $n$을 소인수분해 했을 때 $p$의 지수와 같음을 알 수..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 16. 23:24
군론(group theory)를 이용한 정수론의 정리 증명
정수론에서 합동(modular)의 개념을 정의하고 나서 바로 배우는 세 가지의 정리가 있다. 이들은 각각 페르마의 소정리(Fermat's little theorem), 오일러의 정리(Euler's theorem), 그리고 윌슨의 정리(Wilson's theorem)를 말하는데, 이 정리를 기반으로 합동식에 대한 다양한 결론를 이끌어 낼 수 있다. 이 세 가지 정리의 증명은 합동식의 성질을 이용해서 증명할 수도 있지만, 대수학에서의 군(group)의 성질을 이용함으로써 단 몇 줄로도 증명이 가능하다. 이를 자세히 살펴 보면 다음과 같다. $ $ 우선 세 양의 정수 $a,\,b,\,m$에 대하여, $a$와 $b$가 모두 $m$과 서로소(coprime)라 하자. 그러면 정수 $x_1,\, y_1,\, x_2,..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 11. 00:35
택시캡수(taxicab number)와 캡택시수(cabtaxi number)
다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다. 1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 $1729$였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게 말을 건냈다. "내가 타고 온 택시의 번호는 $1729$였어. 그런데 이 숫자는 너무 평범한 숫자라, 이게 나쁜 징조가 아니길 바랬다네." 하디가 말하자, 라마누잔은 즉시 대답했다. "아닙니다. 매우 흥미로운 수입니다. 왜냐하면 $1729$는 두 개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 수들 중 가장 작은 수이기 때문이죠." 실제로 $1729$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 3. 23:39
짝수 완전수(perfect number)와 메르센 소수(Mersenne prime)
완전수(perfect number) 정수론에서, 완전수(perfect number)란 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를 들어 $6$의 양의 약수는 $1,\,2,\,3,\,6$이고, $1 + 2 + 3 = 6$을 만족하므로, $6$은 완전수의 한 예이다. 또 다른 완전수의 예로는 다음과 같은 수들이 있다. \[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \\[5px] 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \\[5px] 496 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \\[5px] 8128 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + ..
Algebra/Number Theory  |  2018. 6. 16. 03:56
계승(factorial)의 다양한 확장
임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 계승(factorial)을 다음과 같이 정의한다. \[ n! := \prod_{k=1}^{n} k = n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] $n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 계승을 각각 구해보면 다음과 같다. \[ 1,\, 2,\, 6,\, 24,\, 120,\, 720,\, 5040,\, 40320,\, 362880,\, 3628800 \tag{A000142} \] 계승을 함수 $n \mapsto n!$로써 이해한다면, 이 함수의 정의역은 양의 정수가 된다. 이제 이 계승 함수의 정의역을 $(\operatorname{Re}(z) > 0$를 만족하는) 복소수까지 확장한 것이 잘 알려진 감마함수(ga..
Algebra/Number Theory  |  2018. 4. 29. 10:51
조화수(harmonic number)는 정수가 될 수 있을까?
임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $n$번째 조화수(harmonic number) $H_n$을 다음과 같이 정의하자. \[ H_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \] 이 때, $n \to \infty$이면 수열 $(H_n)$이 양의 무한대로 발산함을 쉽게 증명할 수 있다. 만약 $(H_n)$이 $H$로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 $(H_n)$은 $H$로 절대수렴한다. 하지만 \[ \begin{align*} H & = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots \\[5px] & \geq \frac{1}{1} +..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 17. 13:29
메르센 소수(Mersenne prime)의 목록
최근(2018년 1월 3일) GIMPS 프로젝트(Great Internet Mersenne Prime Search project)로부터 50번째 메르센 소수(Mersenne prime)가 발견되었다는 소식이 들려왔다. 정수 $n$에 대하여 $M_n := 2^n - 1$의 형태를 갖는 수를 메르센 수(Mersenne number)라 하는데, 이 중 소수인 메르센 수를 특별히 메르센 소수라 한다. 이 때, $n$이 합성수이면 $M_n$ 또한 합성수이기 때문에, $n$이 소수인 경우만 확인하면 충분하고 따라서 모든 메르센 소수는 적당한 소수 $p$에 대하여 $M_p = 2^p - 1$의 형태로 나타낼 수 있다. 하지만 임의의 소수 $p$에 대하여 $M_p$가 언제나 메르센 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 11. 13:16
시어핀스키 수(Sierpinski number)
1960년 시어핀스키(Waclaw Sierpinski)는 모든 양의 정수 $n$에 대하여, $k 2^n +1$가 합성수가 되게 하는 홀수 양의 정수 $k$의 갯수는 무한함을 증명하였다. 그의 이름을 따러 위 성질을 만족하는 홀수 양의 정수 $k$를 시어핀스키 수(Sierpinski number)라고 한다. 시어핀스키의 증명에는 구체적인 $k$의 값은 제시되지 않았었는데, 2년 후에 셀프리지(Selfridge)는 $k=78557$이 시어핀스키 수임을 증명하는데 성공하였다. 그의 증명 과정을 조금 더 자세히 알아보자. 정리 1. $k=78557$일 때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $k 2^n +1$은 언제나 합성수이다. 증명. 아래의 계산 결과에 의해서 위 정리가 성립함을 알 수 있다. \begin{a..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 4. 09:17

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