산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다.

\[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \]

함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의 미분법을 만족하는 연산자를 정의할 수 있는데, 이것이 앞으로 살펴 볼 산술 도함수이다.

산술 도함수(arithmetic derivative)의 정의와 기본 성질

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 산술 도함수(arithemetic derivative)를 다음과 같이 정의한다. 아래 정의에서 (2)는 산술 도함수가 일반적인 도함수의 곱의 미분법을 만족해야 함을 보여준다.

정의 1. 산술 도함수(arithemetic derivative)

산술 도함수 $(\cdot)' : \N \to \N_0$은 다음 성질을 만족하는 함수이다.

1. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$.
2. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$.

참고. 산술 도함수는 정의에 의해 일반적인 도함수의 '곱의 미분법'은 만족하지만, '합의 미분법', $(m+n)' = m' + n'$은 만족하지 않는다. 예를 들어,

\[ (2 + 3)' = 5' = 1 \neq 2 = 1 + 1 = 2' + 3' \]

이므로 $(2 + 3)' \neq 2' + 3'$임을 간단히 확인해 볼 수 있다.

위 정의를 이용하여 $1'$의 값을 구해보자. 우선 $1 = 1 \cdot 1$로 나타낼 수 있으므로,

\[ 1' = (1 \cdot 1)' = 1' \cdot 1 + 1 \cdot 1' = 2 \cdot 1' \]

이 성립해야만 한다. 따라서 $1' = 0$이 되어야 함을 알 수 있다. 이러한 방법으로 양의 정수 $1,\, 2,\, 3,\, \ldots$의 산술 도함수를 구해보면 다음의 수열

\[ 0,\, 1,\, 1,\, 4,\, 1,\, 5,\, 1,\, 12,\, 6,\, 7,\, \ldots \]

을 얻는다. 이 수열의 더 많은 항들은 OEIS: A003415에서 확인해 볼 수 있다.

위 수열에 등장하는 $6'$의 값은 산술 도함수의 정의를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ 6' = (2 \cdot 3)' = 2' \cdot 3 + 2 \cdot 3' = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5 \]

하지만 산술 도함수의 정의를 이용하여 (예를 들어) $600'$의 값을 직접 구한다고 한다면, 그 계산량이 만만치 않을것이다. 양의 정수 $n$이 주어졌을 때, 산술의 기본정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의하면, 서로 다른 소수 $p_1,\, p_2,\, \ldots,\, p_m$와 양의 정수 $k_1,\, k_2,\, \ldots,\, k_m$이 존재하여

\[ n = \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \]

과 같이 유일하게 표현하는 것이 가능하다. 소인수 분해를 이용하여 산술 도함수 $n'$의 값을 조금 더 간단히 구하는 방법에 대해 알아보도록 하자.

정리 2.

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 산술 도함수 $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 다음 성질을 만족한다.

\[ n = \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \quad \implies \quad n' = n \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \]

증명. 우선 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여,

\[ (p^k)' = k \cdot p^{k-1} \tag*{$\myblue{(\ast)}$} \]

이 성립함을 증명하도록 하자. 증명은 $k$에 대한 수학적 귀납법을 이용할 것이다. 우선 $k=1$일 때, $p' = 1 = 1 \cdot p^{1-1}$이므로 $\myblue{(\ast)}$이 성립한다. 또한 적당한 $k$에 대하여 식 $\myblue{(\ast)}$이 성립한다고 가정하면,

\[ \begin{align*} (p^{k+1})' & = (p^k \cdot p)' = (p^k)' \cdot p + p^k \cdot p' \\[5px] & = (k \cdot p^{k-1}) \cdot p + p^k \cdot 1 = k p^k + p^k = (k+1) p^k \end{align*} \]

따라서 임의의 양의 정수 $k$에 대하여 식 $\myblue{(\ast)}$이 성립함을 알 수 있다.
이제 $n = p_1^{k_1} \cdots p_m^{k_m}$과 같이 소인수분해 되었다고 가정하자. 그러면 산술 도함수의 성질 ($m$개의 양의 정수의 곱의 미분법)과 식 $\myblue{(\ast)}$에 의해,

\[ \begin{align*} n' & = \sum_{i=1}^{m} p_1^{k_1} \cdots (p_i^{k_i})' \cdots p_m^{k_m} = \sum_{i=1}^{m} p_1^{k_1} \cdots \big( k_i p_i^{k_i - 1} \big) \cdots p_m^{k_m} \\[5px] & = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} \big( p_1^{k_1} \cdots p_i^{k_i} \cdots p_m^{k_m} \big) = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{p_i} n \\[5px] \end{align*} \]

따라서 원하는 결과를 얻는다.

위 정리를 이용하여 $600'$의 값을 구해보자. $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$이므로,

\[ 600' = 600 \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \right) = 1340 \]

이 됨을 알 수 있다.

정수론으로의 응용

양의 정수 $a$가 하나 주어졌다고 하자. 그러면 $n' = a$를 만족하는 $n$을 언제나 찾을 수 있을까? 우선 $a=1$인 경우는 자명하다. 임의의 소수 $p$에 대하여 $p' = 1$이 성립하기 때문이다. 하지만 $a=2$인 경우에는 $n' = 2$를 만족하는 해가 존재하지 않는다. 만약 그러한 $n$이 존재한다면, $n$은 합성수이므로 $n = n_1 n_2$ (단, $n_1,\, n_2 \geq 2$)와 같이 나타낼 수 있다. 한 편,

\[ 2 = n' = (n_1 n_2)' = n_1' \cdot n_2 + n_1 \cdot n_2' \]

이고, 위 식의 우변의 모든 항은 양수이므로, $n_1,\, n_2 \leq 2$여야만 한다. 따라서 $n_1 = n_2 = 2$이고 $n = 4$여야만 하는데, $4' = 4$이므로 모순이다. 마찬가지 방법으로 $a = 3$인 경우에도 $n' = 3$을 만족하는 해가 존재하지 않음을 확인할 수 있다. 이와 같이 $n' = a$의 해가 존재하지 않는 모든 $a$을 나열해 보면

\[ 2,\, 3,\, 11,\, 17,\, 23,\, 29,\, 35,\, 37,\, 47,\, 53,\, \ldots \]

를 얻는데, 이 수열의 더 많은 항은 OEIS: A098700에서 확인해 볼 수 있다.

위 수열을 살펴 보면, $2$를 제외한 모든 짝수 $a$에 대하여 $n' = a$의 해가 존재 하는 것 같아 보인다. 실제로 이 추측은 (강한) 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)과 밀접한 관련이 있다. 여기서 (강한) 골드바흐의 추측이란, '임의의 짝수 $n \geq 4$을 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는가?'에 대한 추측이다. 만약 이 추측이 참이라 가정하면 다음의 추측 또한 참임을 간단히 보일 수 있다.

추측 3. 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)과 산술 도함수

(강한) 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)이 참이라 가정하자. 그러면 임의의 짝수 $a \geq 4$에 대하여, $n' = a$을 만족하는 해가 존재한다.

증명. (강한) 골드바흐의 추측이 참임을 가정했으므로, 적당한 소수 $p,\, q$가 존재하여 $a = p+q$로 나타낼 수 있다. 이제 $n = pq$로 정의하자. 그러면

\[ n' = (pq)' = p' \cdot q + p \cdot q' = q + p = a \]

이므로 추측이 참임을 알 수 있다.

산술 도함수는 쌍둥이 소수(twin prime) 추측과도 밀접한 관련이 있다. 여기서 쌍둥이 소수 추측이란, '$p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는가?'에 관한 추측이다. 우선 임의의 소수 $p$에 대하여 $p'' = (p')' = 1' = 0$이 성립함을 알 수 있는데, 만약 쌍둥이 소수 추측이 참임을 가정하면, 다음과 같이 $n'' = 1$을 만족하는 해에 대한 추측을 얻을 수 있다.

추측 4. 쌍둥이 소수(twin prime) 추측과 산술 도함수

쌍둥이 소수(twin prime) 추측이 참이라 가정하자. 그러면 $n'' = 1$을 만족하는 해는 무한히 많이 존재한다.

증명. 쌍둥이 소수 추측이 참이라 가정하자. 그러면 $p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많이 존재한다. 그러한 $p$에 대하여 $n = 2p$로 정의하면,

\[ n' = (2p)' = 2' \cdot p + 2 \cdot p' = p+2 \]

를 얻는다. 여기서 $p+2$ 또한 소수이므로, $(2p)'' = (p+2)' = 1$을 얻는다. 따라서 위 추측이 참임을 알 수 있다.

참고. '골드바흐의 추측'과 추측 3이 서로 동치인지와 '쌍둥이 소수 추측'과 추측 4가 서로 동치인지의 여부는 아직까지 알려지지 않았다.

이번에는 $n' = a$에서 $a$가 상수가 아닌 경우에 대해서 생각해 보자. 제일 간단한 경우는 $n' = n$이다. 이 경우는, 다음과 같이 완전한 해 집합이 알려져 있다.

정리 5. $n' = n$의 해

$n' = n$을 만족하는 해는 적당한 소수 $p$에 대하여, $n = p^p$의 형태가 유일하다.

증명. 정리 2의 증명과정에서, 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여 $(p^k)' = k p^{k-1}$이 성립함을 확인하였다. 따라서 $n = p^p$인 경우,

\[ n' = (p^p)' = p \cdot p^{p-1} = p^p = n \]

이 성립함을 간단히 확인할 수 있다. 해의 유일성을 증명하는 것은 이 글에서는 생략하도록 하자.

따름정리 6.

$n' = 2n$을 만족하는 해는 적당한 소수 $p$에 대하여, $n = p^{2p}$의 형태 이거나, 서로 다른 두 소수 $p,\, q$에 대하여 $n = p^p q^q$의 형태가 유일하다.

참고. 수학적 귀납법을 이용하면 정리 5와 따름정리 6의 결과를 일반화 할 수 있다. 임의의 양의 정수 $k$에 대하여, $n' = kn$을 만족하는 해는 $n = p_1^{p_1} p_2^{p_2} \cdots p_k^{p_k}$의 형태 (단, 각각의 소수 $p_i$는 중복될 수 있다)가 유일하다.