계승(factorial)의 다양한 확장

임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 계승(factorial)을 다음과 같이 정의한다.

\[ n! := \prod_{k=1}^{n} k = n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

$n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 1,\, 2,\, 6,\, 24,\, 120,\, 720,\, 5040,\, 40320,\, 362880,\, 3628800 \tag{A000142} \]

계승을 함수 $n \mapsto n!$로써 이해한다면, 이 함수의 정의역은 양의 정수가 된다. 이제 이 계승 함수의 정의역을 $(\operatorname{Re}(z) > 0$를 만족하는) 복소수까지 확장한 것이 잘 알려진 감마함수(gamma function)이다.

\[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \]

이와 같이 정의역을 확장하는 것 이외에도 계승을 다양한 방법으로 확장할 수 있다. 예를 들어, $\sum_{k=1}^{n} k$이 $n$ 이하의 모든 양의 정수의 합을 나타내고, $n$의 계승 $n! = \prod_{k=1}^{n} k$이 $n$ 이하의 모든 양의 정수의 곱을 나타내므로, 이를 확장하여 새로운 연산

\[ n¡:= n^{n-1^{n-2^{\cdots^{3^{2^1}}}}} \]

을 생각해 볼 수도 있다. 이 경우, $1¡ = 1$, $2¡ = 2$, $3¡ = 9$, $4¡ = 262144$인 반면, 바로 그 다음 수는 $5¡ \approx 6.2 \times 10^{183230}$이나 되는 큰 수가 된다. 따라서 큰 수를 상대적으로 간단히 표현할 수 있다는 점에서는 매력이 있지만 이 새로운 계승의 확장에 대한 수학적 의미는 그다지 크지 않을 수 있다.

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하지만 계승을 또 다른 관점에서 확장을 해 보면, 수학의 많은 분야에서 다양하게 응용 수도 있다. 이번 글에서는 이러한 계승의 확장 중에서 몇 가지만 살펴 보도록 하자.

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준계승(subfactorial)

계승을 유한집합 $S$의 크기가 $\abs{S} = n$이라 할 때, 전단사함수 $\sigma : S \to S$의 개수를 $n!$으로 나타낼 수 있다. 이제 이 함수들 중에서 모든 $s \in S$에 대하여 $\sigma(s) \neq s$를 만족하는 것은 몇 개가 존재하는지 생각해 볼 수 있는데, 이러한 조건을 만족하는 함수의 개수를 $n$의 준계승(subfactorial)이라 하고 $!n$과 같이 나타낸다.^[각주:1] $n$의 준계승은 다음과 같이 구할 수 있다.

\[ !n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k} (n-k)! = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}. \]

$n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 준계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 0,\, 1,\, 2,\, 9,\, 44,\, 265,\, 1854,\, 14833,\, 133496,\, 1334961 \tag{A000166} \]

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이중계승(double factorial) 및 다중계승(multiple factorial, multifactorial)

양의 정수 $n \in \N$에 대한 이중계승(double factorial) $n!!$을 다음과 같이 정의한다.

\[ n!! := \prod_{\substack{1 \leq k \leq n \\ k \equiv n \, (\operatorname{mod} \, 2)}} k = \begin{cases} n (n-2) (n-4) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 & \text{if $n$ is odd} \\[5px] n (n-2) (n-4) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2 & \text{if $n$ is even} \end{cases} \]

즉, $n!!$은 $n$이 홀수인 경우에는 $n$ 이하의 모든 홀수의 곱으로, 반대로 $n$이 짝수인 경우에는 $n$ 이하의 모든 짝수의 곱으로 주어진다. $n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 이중계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 1,\, 2,\, 3,\, 8,\, 15,\, 48,\, 105,\, 384,\, 945,\, 3840 \tag{A006882} \]

이중계승은 함수 $f(\frac{x}{2})$의 테일러 전개에 응용될 수 있다. 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $(2n)!! = 2^n n!$이 성립함을 이용하면, $f(x)$의 테일러 전개로부터 다음을 얻는다.

\[ \begin{align*} f(x) &= f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \\[5px] &= f(0) + \frac{f'(0)}{2^1 1!}2^1x^1 + \frac{f''(0)}{2^2 2!}2^2x^2 + \frac{f'''(0)}{2^3 3!}2^3 x^3 + \cdots \\[5px] &= f(0) + \frac{f'(0)}{2!!}(2x)^1 + \frac{f''(0)}{4!!}(2x)^2 + \frac{f'''(0)}{6!!}(2x)^3 + \cdots \end{align*} \]

따라서 위 등식에 $x$ 대신 $\frac{x}{2}$를 대입하면,

\[ f(\tfrac{x}{2}) = f(0) + \frac{f'(0)}{2!!}x^1 + \frac{f''(0)}{4!!}x^2 + \frac{f'''(0)}{6!!}x^3 + \cdots \]

예를 들어, $\sin(\frac{x}{2})$의 테일러 전개를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \sin(\tfrac{x}{2}) = \frac{x^1}{2!!} - \frac{x^3}{6!!} + \frac{x^5}{10!!} - \frac{x^7}{14!!} + \cdots \]

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양의 정수 $n \in \N$에 대한 다중계승(multiple factorial, multifactorial)은 이중계승을 확장한 것으로써 다음과 같이 정의된다.

\[ n!^{(m)} := \prod_{\substack{1 \leq k \leq n \\ k \equiv n \, (\operatorname{mod} \, m)}} k \]

예를 들어, $n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 삼중계승(triple factorial)을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 10,\, 18,\, 28,\, 80,\, 162,\, 280 \tag{A007661} \]

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소수계승(primorial)

양의 정수 $n \in \N$에 대한 소수계승(primorial) $n\#$를 다음과 같이 정의한다.

\[ n\# := \prod_{k=1}^{\pi(n)} p_k \]

여기서 $\pi(n)$는 $n$ 이하의 소수의 개수, $p_k$는 $k$번째 소수를 나타낸다. 따라서 $n\#$ $n$ 이하의 모든 소수의 곱으로 주어짐을 알 수 있다. $n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 소수계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 1,\, 2,\, 6,\, 6,\, 30,\, 30,\, 210,\, 210,\, 210,\, 210 \tag{A034386} \]

정수론에서는 특히 $n$이 소수임을 가정하는 경우가 많은데, 이 때 $n$ 소수계승은 훨씬 간단한 표현을 갖는다. $p_n$을 $n$번 째 소수라 하면 $p_n\#$은 다음과 같이 주어진다.

\[ p_n\# = \prod_{k=1}^{n} p_k \]

이제 $p_1$ 부터 $p_n$ 까지의 소수계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ 1,\, 2,\, 6,\, 30,\, 210,\, 2310,\, 30030,\, 510510,\, 9699690,\, 223092870,\, 6469693230 \tag{A002110} \]

임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 $p_n\# + 1$ 꼴의 형태로 수어지는 수를 유클리드수(Euclid number)라고 부르기도 한다. 이는 유클리드의 소수의 무한성 증명에서 $p_n\# + 1$ 꼴의 수가 사용되었기 때문이다.

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초계승(superfactorial)

양의 정수 $n \in \N$에 대한 초계승(superfactorial) $\operatorname{sf}(n)$을 다음과 같이 정의한다.

\[ \operatorname{sf}(n) = n! (n-1)! (n-2)! \cdots 3! \cdot 2! \cdot 1! \]

초계승은 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)의 행렬식과 밀접한 관계가 있다.

\[ \abs{\begin{array}{ccccc} 1 & 1^2 & 1^3 & \cdots & 1^n \\ 2 & 2^2 & 2^3 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & 3^3 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n^2 & n^3 & \cdots & n^n \end{array}} = \sum_{0 \leq i < j \leq n} (j-i) = \operatorname{sf}(n) \]

$n = 1,\, \ldots,\, 10$까지 초계승을 각각 구해보면 다음과 같다.

\[ \begin{align*} & 1,\, 2,\, 12,\, 288,\, 34560,\, 24883200,\, 125411328000,\, 5056584744960000, \\[5px] & 1834933472251084800000,\, 6658606584104736522240000000 \tag{A000178} \end{align*} \]

1. 자세한 내용은 여기서 확인해 볼 수 있다. [본문으로]