Problems and Solutions #020

Problem #020

방정식 $n^m=m^n$의 자명하지 않은 모든 양의 정수해를 구하여라.

우선 $n=m$이면 주어진 방정식이 성립함은 자명하다. 따라서 $n\ne m$을 가정하고, 편의상 $0<n<m$이라 하자. 이제 주어진 방정식의 양변에 로그를 취하면

$$m\log n=n\log m⟺\frac{\log n}{n}=\frac{\log m}{m}$$

을 얻는다. 이제 이 공통된 값을 $k$라 하면, 아래의 방정식

$$f(x):=\frac{\log x}{x}=k$$

은 적어도 두개 이상의 서로 다른 근을 가져야만 한다. 하지만 $f^{\prime }(x)=(1-\log x)/x^2$이므로 함수 $f$는 구간 $(0,e)$에서 증가이고 $(e,\mathrm{\infty })$에서 감소하는 함수이다. 따라서 $f(x)=k$는 많아야 두개의 서로다른 근을 가진다. 이 때, 두 근 중 작은근은 $e$보다 작아야 하므로, $n=1,2$인 경우만 살펴보면 충분함을 알 수 있다. 

만약 $n=1$이면, $m=1$이 되어 $n<m$이라는 가정에 모순이다. $n=2$인 경우, 간단한 계산을 통해 $m=4$임을 알 수 있다. 따라서 $(n,m)=(2,4)$ 또는 $(4,2)$ 만이 주어진 방정식을 만족하는 양의 정수 해이다.