삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다.

\[ \begin{align*} \sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\[5px] \cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \end{align*} \]

특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 $y=x$로 둠으로써 얻을 수 있다.

\[ \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(x + x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \\[5px] &= 2 \sin(x) \cos(x) \\[15px] \cos(2x) &= \cos(x + x) \\[5px] &= \cos(x) \cos(x) - \sin(x) \sin(x) \\[5px] &= \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) \end{align*} \]

또한 삼각함수의 세배각공식(triple angle formula)은 덧셈정리에서 $y=2x$로 두고 위에서 얻은 두배각공식을 이용하면 된다.

\[ \begin{align*} \sin(3x) &= \sin(x + 2x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(2x) + \cos(x) \sin(2x) \\[5px] &= \sin(x) \big[ 1 - 2\sin^2(x) \big] + \cos(x) \big[ 2 \sin(x) \cos(x) \big] \\[5px] &= \sin(x) - 2 \sin^3(x) + 2 \sin(x) \cos^2(x) \\[5px] &= \sin(x) - 2 \sin^3(x) + 2 \sin(x) \big[ 1 - \sin^2(x) \big] \\[5px] &= 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \\[15px] \cos(3x) &= \cos(x + 2x) \\[5px] &= \cos(x) \cos(2x) - \sin(x) \sin(2x) \\[5px] &= \cos(x) \big[ 2\cos^2(x) - 1 \big] - \sin(x) \big[ 2 \sin(x) \cos(x) \big] \\[5px] &= 2 \cos^3(x) - \cos(x) - 2 \sin^2(x) \cos(x) \\[5px] &= 2 \cos^3(x) - \cos(x) - 2 \big[ 1 - \cos^2(x) \big] \cos(x) \\[5px] &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \end{align*} \]

이와 같은 방법으로 삼각함수의 네배각공식, 다섯배각공식, 나아가 일반적인 $n$배각공식까지 유도할 수 있다. 하지만 위 계산에서 짐작할 수 있듯이 $n$이 커짐에 따라 공식을 얻어내는데 필요한 계산량도 늘어나게 된다. 따라서 $n$배각공식을 비교적 쉽게 유도하기 위한 몇 가지 방법들이 있는데, 이번 글에서는 그 중에 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)을 이용한 방법을 알아 보도록 하자.

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드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

드 무아브르 공식(de Moivre's formula)에 의하면, 임의의 복소수 $x$와 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \]

이 공식은 오일러 공식(Euler's formula)를 이용하여 간단히 증명이 가능하다. 이 글에서는 $x$가 실수이고 $n$이 양의 정수인 경우에 한해서, 드 무아브르 공식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명을 해 보도록 하자.

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정리. 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \tag{1} \]

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증명. 우선 $n=1$인 경우, 식 $(1)$이 성립함은 자명하다. 이제 $n=k$일 때 식 $(1)$이 성립한다고 가정하자. 그러면 $n=k+1$인 경우 삼각함수의 덧셈공식에 의해 다음을 얻는다.

\[ \begin{align*} (\cos(x) + i \sin(x))^{k+1} &= (\cos(x) + i \sin(x))^k (\cos(x) + i \sin(x)) \\[5px] &= (\cos(kx) + i \sin(kx)) (\cos(x) + i \sin(x)) \\[5px] &= \cos(kx)\cos(x) - \sin(kx)\sin(x) + i \big[ \sin(kx)\cos(x) + \cos(kx)\sin(x) \big] \\[5px] &= \cos((k+1)x) + i \sin((k+1)x) \end{align*} \]

따라서 $n=k+1$일 때도 식 $(1)$이 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 식 $(1)$이 성립한다..

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드 무아브르 공식을 이용하여 사인 함수와 코사인 함수에 대한 $n$배각공식을 유도하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 식 $(1)$의 좌변을 전개하고 정리하면 실수부와 허수부를 각각 얻을 수 있다. 이 때, 좌변의 실수부가 $\cos(nx)$와 같아야 하고 좌변의 허수부는 $\sin(nx)$와 같아야 한다는 사실을 이용하면, $\cos(nx)$, $\sin(nx)$의 값을 각각 구할 수 있다. 특히,

\[ \begin{align*} \sin(nx) &= \operatorname{Im}((\cos(x) + i \sin(x))^n) \\[5px] \cos(nx) &= \operatorname{Re}((\cos(x) + i \sin(x))^n) \end{align*} \]

가 성립한다.

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실제로 드 무아브르 공식을을 이용하여 사인, 코사인 함수의 두배각공식과 세배각공식을 각각 유도해 보면 다음과 같다. 먼저 $n=2$인 경우의 드 무아브르 공식을 적용하면

\[ \begin{align*} \cos(2x) + i \sin(2x) &= (\cos(x) + i \sin(x))^2 \\[5px] &= \cos^2(x) - \sin^2(x) + i (2 \sin(x) \cos(x)) \end{align*} \]

따라서 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$, $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$를 얻는다.

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마찬가지 방법으로 $n=3$인 경우의 드 무아브르 공식에 의해서

\[ \begin{align*} \cos(3x) + i \sin(3x) &= (\cos(x) + i \sin(x))^3 \\[5px] &= \cos^3(x) - 3 \cos(x)\sin^2(x) + i (3 \cos^2(x) \sin(x) - \sin^3(x)) \end{align*} \]

를 얻는다. 이제 위 식의 좌변과 우변이 서로 같음을 이용하여

\[ \begin{align*} \sin(3x) &= 3 \cos^2(x) \sin(x) - \sin^3(x) \\[5px] &= 3 \big[ 1 - \sin^2(x) \big] \sin(x) - \sin^3(x) \\[5px] &= 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \\[15px] \cos(3x) &= \cos^3(x) - 3 \cos(x) \sin^2(x) \\[5px] &= \cos^3(x) - 3 \cos(x) \big[ 1 - \cos^2(x) \big] \\[5px] &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \end{align*} \]

임을 알 수 있다.

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사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식

위와 같이 드 무아브르 공식을 이용하면 사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식을 동시에 얻을 수 있다. 먼저 식 $(1)$의 좌변 $(\cos(x) + i \sin(x))^n$을 전개하는 과정에서 이항계수가 등장한다. 또한 이 전개식의 반 정도는 실수부이고, 나머지 반 정도는 허수부가 된다. 이러한 사실들을 일반화 하여 임의의 양의 정수 $n$에 대한 $n$배각공식을 구해보면 다음과 같다.

\[ \begin{align*} \sin(nx) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \sin{\frac{k\pi}{2}} \\[5px] &= \sum_{k \text{ odd}} (-1)^{\frac{k-1}{2}} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \tag{2.1} \\[15px] \cos(nx) &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \cos{\frac{k\pi}{2}} \\[5px] &= \sum_{k \text{ even}} (-1)^{\frac{k}{2}} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(x) \sin^{k}(x) \tag{2.2} \end{align*} \]

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위 공식 $(2.1)$과 $(2.2)$를 이용하여 $\sin(4x)$와 $\cos(4x)$의 값을 직접 구해보자.

\[ \begin{align*} \sin(4x) &= \binom{4}{1} \cos^3(x) \sin(x) -\binom{4}{3} \cos(x) \sin^3(x) \\[5px] &= 4 \cos^{3}(x) \sin(x) - 4 \cos(x) \sin^3(x) \\[15px] \cos(4x) &= \binom{4}{0} \cos^4(x) - \binom{4}{2} \cos^2(x) \sin^2(x) + \binom{4}{4} \sin^4(x) \\[5px] &= \cos^4(x) - 6 \cos^2(x) \sin^2(x) + \sin^4(x) \end{align*} \]