삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\sin (x\pm y)& =\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)\\ \cos (x\pm y)& =\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)\end{array}$$

특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 $y=x$로 둠으로써 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\sin (2x)& =\sin (x+x)\\ & =\sin (x)\cos (x)+\cos (x)\sin (x)\\ & =2\sin (x)\cos (x)\\ \cos (2x)& =\cos (x+x)\\ & =\cos (x)\cos (x)-\sin (x)\sin (x)\\ & ={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)\end{array}$$

또한 삼각함수의 세배각공식(triple angle formula)은 덧셈정리에서 $y=2x$로 두고 위에서 얻은 두배각공식을 이용하면 된다.

$$\begin{array}{rl}\sin (3x)& =\sin (x+2x)\\ & =\sin (x)\cos (2x)+\cos (x)\sin (2x)\\ & =\sin (x)[1-2{\sin }^2(x)]+\cos (x)[2\sin (x)\cos (x)]\\ & =\sin (x)-2{\sin }^3(x)+2\sin (x){\cos }^2(x)\\ & =\sin (x)-2{\sin }^3(x)+2\sin (x)[1-{\sin }^2(x)]\\ & =3\sin (x)-4{\sin }^3(x)\\ \cos (3x)& =\cos (x+2x)\\ & =\cos (x)\cos (2x)-\sin (x)\sin (2x)\\ & =\cos (x)[2{\cos }^2(x)-1]-\sin (x)[2\sin (x)\cos (x)]\\ & =2{\cos }^3(x)-\cos (x)-2{\sin }^2(x)\cos (x)\\ & =2{\cos }^3(x)-\cos (x)-2[1-{\cos }^2(x)]\cos (x)\\ & =4{\cos }^3(x)-3\cos (x)\end{array}$$

이와 같은 방법으로 삼각함수의 네배각공식, 다섯배각공식, 나아가 일반적인 $n$배각공식까지 유도할 수 있다. 하지만 위 계산에서 짐작할 수 있듯이 $n$이 커짐에 따라 공식을 얻어내는데 필요한 계산량도 늘어나게 된다. 따라서 $n$배각공식을 비교적 쉽게 유도하기 위한 몇 가지 방법들이 있는데, 이번 글에서는 그 중에 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)을 이용한 방법을 알아 보도록 하자.

$$

드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

드 무아브르 공식(de Moivre's formula)에 의하면, 임의의 복소수 $x$와 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

$$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$$

이 공식은 오일러 공식(Euler's formula)를 이용하여 간단히 증명이 가능하다. 이 글에서는 $x$가 실수이고 $n$이 양의 정수인 경우에 한해서, 드 무아브르 공식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명을 해 보도록 하자.

$$

정리. 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)

임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)\end{array}$$

$$

증명. 우선 $n=1$인 경우, 식 $(1)$이 성립함은 자명하다. 이제 $n=k$일 때 식 $(1)$이 성립한다고 가정하자. 그러면 $n=k+1$인 경우 삼각함수의 덧셈공식에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}(\cos (x)+i\sin (x){)}^{k+1}& =(\cos (x)+i\sin (x){)}^k(\cos (x)+i\sin (x))\\ & =(\cos (kx)+i\sin (kx))(\cos (x)+i\sin (x))\\ & =\cos (kx)\cos (x)-\sin (kx)\sin (x)+i[\sin (kx)\cos (x)+\cos (kx)\sin (x)]\\ & =\cos ((k+1)x)+i\sin ((k+1)x)\end{array}$$

따라서 $n=k+1$일 때도 식 $(1)$이 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 식 $(1)$이 성립한다..

$$

드 무아브르 공식을 이용하여 사인 함수와 코사인 함수에 대한 $n$배각공식을 유도하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 식 $(1)$의 좌변을 전개하고 정리하면 실수부와 허수부를 각각 얻을 수 있다. 이 때, 좌변의 실수부가 $\cos (nx)$와 같아야 하고 좌변의 허수부는 $\sin (nx)$와 같아야 한다는 사실을 이용하면, $\cos (nx)$, $\sin (nx)$의 값을 각각 구할 수 있다. 특히,

$$\begin{array}{rl}\sin (nx)& =\mathrm{Im}((\cos (x)+i\sin (x){)}^n)\\ \cos (nx)& =\mathrm{Re}((\cos (x)+i\sin (x){)}^n)\end{array}$$

가 성립한다.

$$

실제로 드 무아브르 공식을을 이용하여 사인, 코사인 함수의 두배각공식과 세배각공식을 각각 유도해 보면 다음과 같다. 먼저 $n=2$인 경우의 드 무아브르 공식을 적용하면

$$\begin{array}{rl}\cos (2x)+i\sin (2x)& =(\cos (x)+i\sin (x){)}^2\\ & ={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)+i(2\sin (x)\cos (x))\end{array}$$

따라서 $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$, $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$를 얻는다.

$$

마찬가지 방법으로 $n=3$인 경우의 드 무아브르 공식에 의해서

$$\begin{array}{rl}\cos (3x)+i\sin (3x)& =(\cos (x)+i\sin (x){)}^3\\ & ={\cos }^3(x)-3\cos (x){\sin }^2(x)+i(3{\cos }^2(x)\sin (x)-{\sin }^3(x))\end{array}$$

를 얻는다. 이제 위 식의 좌변과 우변이 서로 같음을 이용하여

$$\begin{array}{rl}\sin (3x)& =3{\cos }^2(x)\sin (x)-{\sin }^3(x)\\ & =3[1-{\sin }^2(x)]\sin (x)-{\sin }^3(x)\\ & =3\sin (x)-4{\sin }^3(x)\\ \cos (3x)& ={\cos }^3(x)-3\cos (x){\sin }^2(x)\\ & ={\cos }^3(x)-3\cos (x)[1-{\cos }^2(x)]\\ & =4{\cos }^3(x)-3\cos (x)\end{array}$$

임을 알 수 있다.

$$

사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식

위와 같이 드 무아브르 공식을 이용하면 사인 함수와 코사인 함수의 $n$배각공식을 동시에 얻을 수 있다. 먼저 식 $(1)$의 좌변 $(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$을 전개하는 과정에서 이항계수가 등장한다. 또한 이 전개식의 반 정도는 실수부이고, 나머지 반 정도는 허수부가 된다. 이러한 사실들을 일반화 하여 임의의 양의 정수 $n$에 대한 $n$배각공식을 구해보면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\sin (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(x){\sin }^k(x)\sin \frac{k\pi }{2}\\ \text{(2.1)}& & =\sum _{k\text{ odd}}(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(x){\sin }^k(x)\cos (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(x){\sin }^k(x)\cos \frac{k\pi }{2}\\ \text{(2.2)}& & =\sum _{k\text{ even}}(-1{)}^{\frac{k}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}(x){\sin }^k(x)\end{array}$$

$$

위 공식 $(2.1)$과 $(2.2)$를 이용하여 $\sin (4x)$와 $\cos (4x)$의 값을 직접 구해보자.

$$\begin{array}{rl}\sin (4x)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}){\cos }^3(x)\sin (x)-(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})\cos (x){\sin }^3(x)\\ & =4{\cos }^3(x)\sin (x)-4\cos (x){\sin }^3(x)\\ \cos (4x)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}){\cos }^4(x)-(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}){\cos }^2(x){\sin }^2(x)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}){\sin }^4(x)\\ & ={\cos }^4(x)-6{\cos }^2(x){\sin }^2(x)+{\sin }^4(x)\end{array}$$