삼각함수의 $n$배각공식과 체비쇼프 방법(Chebyshev method)

지난 글에서는 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)를 이용하여 사인 함수과 코사인 함수의 $n$배각 공식을 간단히 얻는 방법을 살펴 보았다. 이번 글에서는 코사인 함수, 사인 함수, 탄젠트 함수의 $n$배각공식에 재귀적으로 얻는 체비쇼프 방법(Chebyshev method)에 대해서 알아보도록 하자.

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코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법

정리. 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법

임의의 정수 $n \geq 2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos(nx) = 2 \cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) \tag*{$(1)$} \]

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증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $n \geq 2$일 때, 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} \cos(nx) &= \cos((n − 1)x + x) \\[5px] &= \cos((n − 1)x) \cos(x) − \sin((n − 1)x) \sin(x) \\[5px] \cos((n-2)x) &= \cos((n − 1)x − x) \\[5px] &= \cos((n − 1)x) \cos(x) + \sin((n − 1)x) \sin(x) \end{align*} \] 이제 위 두 등식을 변변끼리 더해주고 정리하면 식 $(1)$를 얻는다..

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코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법을 이용하면, $\cos((n-1)x)$와 $\cos((n-2)x)$에 대한 공식을 알 고 있을 때, $\cos(nx)$에 대한 공식을 유도할 수 있다. 예를 들어 위 식에서 $n=2$인 경우, \[ \cos(2x) = 2 \cos(x) \cos(x) - \cos(0) = 2\cos^2(x) - 1 \] 을 얻는다. 따라서 $n=3$인 경우, \[ \begin{align*} \cos(3x) &= 2 \cos(x) \cos(2x) - \cos(x) \\[5px] &= 2 \cos(x) \big[ 2 \cos^2(x) - 1 \big] - \cos(x) \\[5px] &= 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \end{align*} \]

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체비쇼프 방법을 살펴보면 다음과 같은 사실을 얻는다. 우선 $\cos(0x) = 1$과 $\cos(1x) = \cos(x)$는 각각 $\cos(x)$에 대한 다항식의 형태로 나타난다고 할 수 있다. 또한 $\cos((n-1)x)$와 $\cos((n-2)x)$이 모두 $\cos(x)$에 대한 다항식이라 가정하면, 식 $(1)$에 의해서 $\cos(nx)$ 또한 $\cos(x)$에 대한 다항식으로 주어지게 된다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여, 임의의 자연수 $n$에 대하여 $\cos(nx)$는 $\cos(x)$에 대한 다항식의 형태로 주어진다.

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이제 다항식 $T_n(t)$를 재귀적으로 다음과 같이 정의하자. 우선 $T_0(t) = 1$, $T_1(t) = t$으로 정의한다. 그리고 각각의 정수 $n \geq 2$에 대하여, $T_n$을 다음과 같이 재귀적으로 정의한다. \[ T_n(t) = 2 t T_{n-1}(t) - T_{n-2}(t) \] 위와 같이 정의된 다항식 $T_n(t)$들을 (제 1종) 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial of first kind)이라 한다. 체비쇼프 다항식을 이용하면, 임의의 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ \cos(nx) = T_n(\cos(x)) \] 가 성립함을 알 수 있다.

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사인 함수에 대한 체비쇼프 방법

코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법의 아이디어를 사인 함수에도 적용할 수 있다.

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정리. 사인 함수에 대한 체비쇼프 방법

임의의 정수 $n \geq 2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \sin(nx) = 2 \cos(x) \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x) \tag*{$(2)$} \]

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증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $n \geq 2$일 때, 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} \sin(nx) &= \sin((n − 1)x + x) \\[5px] &= \sin((n − 1)x) \cos(x) + \cos((n − 1)x) \sin(x) \\[5px] \sin((n-2)x) &= \sin((n − 1)x − x) \\[5px] &= \sin((n − 1)x) \cos(x) - \cos((n − 1)x) \sin(x) \end{align*} \] 이제 위 두 등식을 변변끼리 더해주고 정리하면 식 $(2)$를 얻는다..

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사인 함수의 두배각공식, 세배각공식은 체비쇼프 방법을 이용하여 다음과 같이 구해진다. \[ \begin{align*} \sin(2x) &= 2 \cos(x) \sin(x) - \sin(0) \\[5px] &= 2 \cos(x) \sin(x) \\[5px] \sin(3x) &= 2 \cos(x) \sin(2x) - \sin(x) \\[5px] &= 2 \cos(x) \big[ 2 \cos(x) \sin(x) \big] - \sin(x) \\[5px] &= 4 \cos^2(x) \sin(x) - \sin(x) \\[5px] &= 4 \big[ 1 - \sin^2(x) \big] \sin(x) - \sin(x) \\[5px] &= 3 \sin(x) - 4 \sin^2(x) \end{align*} \] $\cos(nx)$를 언제나 $\cos(x)$에 대한 다항식으로 표현할 수 있었던 것과 달리, $\sin(nx)$를 $\sin(x)$에 대한 다항식의 형태로 표현하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 이를 좀더 자세히 살펴보자. 사인 함수에 대한 체비쇼프 방법을 자세히 살펴 보면, $n$이 홀수인 경우에는 $\sin(nx)$를 $\sin(x)$에 대한 다항식의 형태로 표현되고, $n$이 짝수인 경우 $\sin(nx)$는 $\sin(x)$에 대한 다항식에 $\cos(x)$가 곱해진 형태로 나타남을 확인할 수 있다.

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탄젠트 함수에 대한 체비쇼프 방법

마지막으로 탄젠트 함수에 대한 체비쇼프 방법을 알아보자.

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정리. 탄젠트 함수에 대한 체비쇼프 방법

임의의 정수 $n \geq 1$에 대하여 다음이 성립한다. $A_{n-1}$과 $B_{n-1}$은 각각 $\tan((n-1)x)$의 분자와 분모라 할 때, \[ \tan(nx) = \frac{A_{n-1} + B_{n-1} \tan(x)}{B_{n-1} - A_{n-1} \tan(x)} \tag*{$(3)$} \]

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증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $n \geq 1$일 때, 다음을 얻는다. \[ \tan(nx) = \tan((n-1)x + x) = \frac{\tan((n-1)x) + \tan(x)}{1 - \tan((n-1)x)\tan(x)} \] 이제 $A_{n-1}$과 $B_{n-1}$은 각각 $\tan((n-1)x)$의 분자와 분모로 정의하면, $\tan((n-1)x) = \frac{A_{n-1}}{B_{n-1}}$로 나타낼 수 있다. 그러므로 \[ \tan(nx) = \frac{\frac{A_{n-1}}{B_{n-1}} + \tan(x)}{1 - \frac{A_{n-1}}{B_{n-1}} \; \tan(x)} = \frac{A_{n-1} + B_{n-1} \tan(x)}{B_{n-1} - A_{n-1} \tan(x)} \] 를 얻는다. .

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$n$배각공식을 얻기 위해서, $(n-1)$배각공식과 $(n-2)$배각공식을 모두 알아야 했던 코사인, 사인 함수의 경우와 달리, 탄젠트 함수의 경우 $(n-1)$배각공식만 알고 있으면 이를 이용하여 $n$배각공식을 유도할 수 있다. 우선 $A_1 = \tan(x)$이고 $B_1 = 1$이므로, \[ \tan(2x) = \frac{\tan(x) + \tan(x)}{1 - \tan(x) \tan(x)} = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \] 를 얻는다. 따라서 $A_2 = 2 \tan(x)$, $B_2 = 1 - \tan^2(x)$로 두면, \[ \tan(3x) = \frac{2 \tan(x) + (1 - \tan^2(x)) \tan(x)}{(1 - \tan^2(x)) - 2\tan(x) \tan(x)} = \frac{3 \tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3 \tan^2(x)} \] 가 되어 탄젠트 함수에 대한 세배각공식을 얻는다.