도함수와 원시함수가 같은 함수

도함수와 원시함수가 같은 함수

지수함수 $f(x)=e^x$는 굉장히 특별한 성질을 가지고 있는 함수이다. 이 함수를 미분하면 $f^{\prime }(x)=e^x$이다. 또한 이 함수를 적분하면, 즉, 이 함수의 원시함수_{(primitive function)}를 $F(x)$를 구해보면, $F(x)=e^x+C$의 형태가 되어 (상수항을 무시하면) 도함수와 원시함수가 서로 같아진다. 이러한 성질을 만족하는 함수가 더 있을까?

미분방정식을 이용하면 이에 대한 해답을 간단히 얻을 수 있다. 주어진 함수 $f(x)$의 도함수와 원시함수가 서로 같다고 하자. 이제 $f(x)$의 원시함수를 $F(x)$라 하면, $f^{\prime }(x)=F^{″}(x)$라 할 수 있으므로, 문제의 조건에 의해서

$$F^{″}(x)=F(x)$$

를 만족해야 함을 알 수 있다. 이는 미분방정식 $F^{″}-F=0$을 푸는 문제와 같고, 이 미분방정식의 특성방정식 $r^2-1=0$의 두 근이 $r=\pm 1$이므로 미분방정식을 만족하는 모든 해는

$$F(x)=c_1{e}^x+c_2{e}^{-x},(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$

의 형태로 주어짐을 알 수 있다. 따라서 위 함수를 미분하면 구하고자 하는 함수

$$f(x)=c_1{e}^x-c_2{e}^{-x},(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$

를 얻는다.

식 $(\ast )$의 $c_1$, $c_2$에 적당히 실수를 대입하면 몇 가지 재미있는 해를 얻을 수 있다. 우선 $c_1=1$, $c_2=0$을 대입하면 제일 위에서 살펴 보았듯이 $e^x$가 도함수와 원시함수가 같은 함수가 된다. 또한 $c_1=c_2=\frac{1}{2}$인 경우와 $c_1=-c_2=\frac{1}{2}$를 각각 대입해보면,

$$\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{2}{e}^{-x}=\sinh (x),\frac{1}{2}{e}^x+\frac{1}{2}{e}^{-x}=\cosh (x)$$

가 되어 $\sinh (x)$와 $\cosh (x)$ 또한 위 조건을 만족하는 함수들임을 알 수 있다.

도함수와 원시함수의 부호가 반대인 함수

이번에는 도함수와 원시함수의 부호가 반대인 함수에 대해서 생각해 보자. 대표적인 예로 $\sin (x)$를 생각해 볼 수 있다. 이 함수의 도함수와 원시함수를 구해보면, 각각 $f^{\prime }(x)=\cos (x)$와 $F(x)=-\cos (x)+C$가 되어 (역시 상수항을 무시하면) 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. $\cos (x)$ 또한 위 성질을 만족하는 함수 중 하나이다. 이번에도 미분 방정식을 이용하여 위와 같은 성질을 만족하는 모든 함수들을 구해보자.

우선 주어진 함수를 $f(x)$라 하고 도함수와 원시함수의 부호가 서로 반대라 하자. 이제 $f(x)$의 원시함수를 $F(x)$라 하면, 문제의 조건에 의해서

$$F^{″}(x)=-F(x)$$

를 만족해야 한다. 따라서 미분방정식 $F^{″}+F=0$의 특성방정식 $r^2+1=0$은 두 허근 $r=\pm i$을 갖는다. 따라서 미분방정식을 만족하는 모든 해를 구해 보면
$$F(x)=c_1\sin (x)+c_2\cos (x),(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$ 의 형태로 주어진다. 따라서 위 함수를 미분하면 구하고자 하는 함수

$$f(x)=c_1\sin (x)-c_2\cos (x),(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$

를 얻는다. 즉, 위에서 살펴보았던 두 삼각함수 $\sin (x)$ ($c_1=1,c_2=0$인 경우)와 $\cos (x)$ ($c_1=0,c_2=-1$인 경우), 그리고 이 두 함수의 선형 결합만이 우리가 원하는 성질을 만족하는 함수들임을 알 수 있다.

도함수와 원시함수의 평균이 원래 함수가 같은 함수

마지막으로 좀 더 특이한 성질을 가지는 함수를 살펴보자. 이번에는 주어진 함수의 도함수와 원시함수를 각각 구하여 두 함수의 평균을 구한다. 이 때, 이 평균이 원래의 함수와 같아지게 되는 함수는 어떤 것이 있을까? 예를 들어 함수 $e^x$의 경우 도함수와 원시함수가 (상수항을 무시하면) $e^x$로 서로 같으므로, 도함수와 원시함수의 평균이 원래의 함수 $e^x$와 같음을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 $e^{-x}$의 경우 도함수와 원시함수가 (상수항을 무시하면) $-e^{-x}$로 서로 같지만, 이들의 평균 또한 $-e^{-x}$가 되어 원래 함수 $e^{-x}$와 서로 같지 않다.

이제 위 조건을 만족하는 함수를 미분방정식을 세워서 구해 보도록 하자. 마찬가지로 $f(x)$라 하고 $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수라 하자. 그러면 문제의 조건에 의해서

$$\frac{F^{″}(x)+F(x)}{2}=F^{\prime }(x)$$

를 만족해야 한다. 위 식을 정리하면 미분방정식 $F^{″}-2F^{\prime }+F=0$을 얻는다. 이 미분방정식 특성방정식 $r^2-2r+1=0$은 중근 $r=1$을 가지므로 위 미분방정식을 만족하는 해는

$$F(x)=c_1{e}^x+c_{2}x{e}^x,(c_1,c_2\in \mathbb{R})$$

의 형태로 주어진다. 따라서 위 식을 미분하여,

$$\begin{array}{rl}f(x)& =c_1{e}^x+c_2(e^x+x{e}^x)\\ & =d_1{e}^x+d_{2}x{e}^x,(d_1,d_2\in \mathbb{R})\end{array}$$

를 얻는다. 따라서 $d_1=1,d_2=0$인 경우, 위에서 살펴 보았던 함수 $e^x$를 얻고, 만약 $d_1=0,d_2=1$인 경우, $x{e}^x$ 또한 위 성질을 만족한다는 사실을 알 수 있다. 실제로 $f(x)=x{e}^x$라 놓고 도함수와 원시함수를 각각 구해보면, $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x$, $F(x)=x{e}^x-e^x+C$가 되다. 따라서 원시함수의 상수항을 무시하고 도함수와의 평균을 구해보면
$$\frac{f^{\prime }(x)+F(x)}{2}=\frac{(e^x+x{e}^x)+(x{e}^x-e^x)}{2}=x{e}^x=f(x)$$

임을 확인할 수 있다.