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택시캡수(taxicab number)와 캡택시수(cabtaxi number)
다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다. 1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 1729였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게 말을 건냈다. "내가 타고 온 택시의 번호는 1729였어. 그런데 이 숫자는 너무 평범한 숫자라, 이게 나쁜 징조가 아니길 바랬다네." 하디가 말하자, 라마누잔은 즉시 대답했다. "아닙니다. 매우 흥미로운 수입니다. 왜냐하면 1729는 두 개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 수들 중 가장 작은 수이기 때문이죠." 실제로 1729는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 3. 23:39
짝수 완전수(perfect number)와 메르센 소수(Mersenne prime)
완전수(perfect number) 정수론에서, 완전수(perfect number)란 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를 들어 6의 양의 약수는 1,2,3,6이고, 1+2+3=6을 만족하므로, 6은 완전수의 한 예이다. 또 다른 완전수의 예로는 다음과 같은 수들이 있다. \[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \[5px] 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \[5px] 496 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \[5px] 8128 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + ..
Algebra/Number Theory  |  2018. 6. 16. 03:56
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, n×n 실행렬 A에 대하여 AT=−A가 성립할 때, A를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 A에 대하여 aij를 행렬 A의 (i,j)-원소라 하면 다음을 얻는다. (∗)aij=−aji∀i,j∈{1,2,…,n} 예를 들어 다음의 행렬들은 모두 반대칭행렬의 예들이다. \[ \left[ 01−10 \right] , \quad \left[..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 5. 7. 23:36
일반화된 다항식의 나머지 정리(generalized polynomial remainder theorem)
다항식의 나눗셈 정리(polynomial division theorem)에 의하면 다음 사실이 성립한다: 서로 다른 두 다항식 f, g에 대하여 아래 다항식을 만족하는 두 다항식 q와 r이 유일하게 존재한다. f(x)=g(x)q(x)+r(x),(deg⁡(r)<deg⁡(g)) 이제 g(x)가 일차식이라 가정해 보자. 그러면 다음과 같은 방법으로 나머지 r(x)을 간단히 구할 수 있다: 먼저 일반성을 잃지 않고 g(x)=k(x−a)와 같이 나타내자. 또한 deg⁡(g)=1이므로 deg⁡(r)=0이어야만 하고 따라서 r(x)=c로 나타낼 수 있다. 그러면 위 나눗셈 정리를 다음과 같이 정리 된다. \[ f(x) = k(x-a)q(x)..
Algebra/Linear Algebra  |  2018. 5. 7. 23:32
오름차순 수(ascending number)와 내림차순 수(descending number) 사이의 관계
1부터 9까지의 모든 수를 내림차순(descending order)으로 적은 수 987654321과 오름차순(ascending order)으로 적은 수 123456789를 비교해 보면, 처음 수가 나중 수의 대략 8배 가량 된다는 사실을 확인할 수 있다. 이 관계를 좀 더 자세히 계산해 보면 다음과 같은 관계를 갖는다. 987654321−1123456789+1=8 즉, 1부터 9까지의 모든 수를 내림차순으로 적은 수 987654321에서 1을 뺀 수를, 오름차순으로 적은 수 123456789에 1을 더한 수로 나누면, 이 결과는 정수가 된다. 재미있는 것은 십진법에서 뿐만 아니라, 임의의 정수 b≥2에 대하여 b..
Algebra/Arithmetic  |  2018. 5. 5. 01:26
'2의 거듭제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명
예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'라는 명제에 대한 두가지 증명을 올린 적이 있다. '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또다른 증명 이번에는 조금 관점을 달리해서 n≥2인 정수에 대하여 2n, 즉, 2의 임의의 거듭제곱근은 유리수가 아님을 증명해보자. 이 사실은 간단한 정리 하나를 보조정리 삼아서 매우 간단하게 증명할 수 있다. 보조정리. 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem) n≥3에 대하여 식 an+bn=cn을 만족하는 양의 정수쌍 (a,b,c)는 존재하지 않는다. 이제 이 사실을 바탕으로 n≥2인 정수에 대하여..
Algebra/Arithmetic  |  2018. 5. 2. 02:40
계승(factorial)의 다양한 확장
임의의 양의 정수 n∈N에 대하여, n의 계승(factorial)을 다음과 같이 정의한다. n!:=∏k=1nk=n(n−1)(n−2)⋯3⋅2⋅1 n=1,…,10까지 계승을 각각 구해보면 다음과 같다. (A000142)1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800 계승을 함수 n↦n!로써 이해한다면, 이 함수의 정의역은 양의 정수가 된다. 이제 이 계승 함수의 정의역을 (Re(z)>0를 만족하는) 복소수까지 확장한 것이 잘 알려진 감마함수(ga..
Algebra/Number Theory  |  2018. 4. 29. 10:51
조화수(harmonic number)는 정수가 될 수 있을까?
임의의 양의 정수 n에 대하여 n번째 조화수(harmonic number) Hn을 다음과 같이 정의하자. Hn:=∑k=1n1k 이 때, n→∞이면 수열 (Hn)이 양의 무한대로 발산함을 쉽게 증명할 수 있다. 만약 (Hn)이 H로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 (Hn)은 H로 절대수렴한다. 하지만 \[ \begin{align*} H & = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots \[5px] & \geq \frac{1}{1} +..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 17. 13:29
메르센 소수(Mersenne prime)의 목록
최근(2018년 1월 3일) GIMPS 프로젝트(Great Internet Mersenne Prime Search project)로부터 50번째 메르센 소수(Mersenne prime)가 발견되었다는 소식이 들려왔다. 정수 n에 대하여 Mn:=2n−1의 형태를 갖는 수를 메르센 수(Mersenne number)라 하는데, 이 중 소수인 메르센 수를 특별히 메르센 소수라 한다. 이 때, n이 합성수이면 Mn 또한 합성수이기 때문에, n이 소수인 경우만 확인하면 충분하고 따라서 모든 메르센 소수는 적당한 소수 p에 대하여 Mp=2p−1의 형태로 나타낼 수 있다. 하지만 임의의 소수 p에 대하여 Mp가 언제나 메르센 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 11. 13:16
시어핀스키 수(Sierpinski number)
1960년 시어핀스키(Waclaw Sierpinski)는 모든 양의 정수 n에 대하여, k2n+1가 합성수가 되게 하는 홀수 양의 정수 k의 갯수는 무한함을 증명하였다. 그의 이름을 따러 위 성질을 만족하는 홀수 양의 정수 k를 시어핀스키 수(Sierpinski number)라고 한다. 시어핀스키의 증명에는 구체적인 k의 값은 제시되지 않았었는데, 2년 후에 셀프리지(Selfridge)는 k=78557이 시어핀스키 수임을 증명하는데 성공하였다. 그의 증명 과정을 조금 더 자세히 알아보자. 정리 1. k=78557일 때, 모든 양의 정수 n에 대하여 k2n+1은 언제나 합성수이다. 증명. 아래의 계산 결과에 의해서 위 정리가 성립함을 알 수 있다. \begin{a..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 4. 09:17

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