'$2$의 거듭제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명

예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'라는 명제에 대한 두가지 증명을 올린 적이 있다.

• '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명
• '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또다른 증명

이번에는 조금 관점을 달리해서 $n \geq 2$인 정수에 대하여 $\sqrt[n]{2}$, 즉, $2$의 임의의 거듭제곱근은 유리수가 아님을 증명해보자. 이 사실은 간단한 정리 하나를 보조정리 삼아서 매우 간단하게 증명할 수 있다.

$ $

보조정리. 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)

$n \geq 3$에 대하여 식 $a^n + b^n = c^n$을 만족하는 양의 정수쌍 $(a,\, b,\, c)$는 존재하지 않는다.

$ $

이제 이 사실을 바탕으로 $n \geq 2$인 정수에 대하여 $\sqrt[n]{2}$가 무리수임을 보이자.

$ $

정리.

$n \geq 2$인 정수에 대하여 $\sqrt[n]{2}$는 무리수이다.

$ $

증명. $n=2$인 경우, $\sqrt{2}$가 무리수임은 잘 알려져 있으므로 생략하도록 하자. 이제 어떤 정수 $n \geq 3$에 대하여 $\sqrt[n]{2}$가 유리수라 가정해 보자. 그러면 적당한 양의 정수 $p,\, q$가 존재하여 $\sqrt[n]{2} = \frac{p}{q}$로 나타낼 수 있다. 따라서

\[ \sqrt[n]{2} = \frac{p}{q} \quad \implies \quad 2 = \left( \frac{p}{q} \right)^n = \frac{p^n}{q^n} \quad \implies \quad 2q^n = p^n \quad \implies \quad q^n + q^n = p^n \]

하지만 이는 페르마의 마지막 정리에 모순이다. 따라서 $\sqrt[n]{2}$는 무리수여야만 한다..  

※ 이글은 http://www.mathstorehouse.com/에 만우절 기념으로 올렸던 글입니다.