큰 수에 대하여 (5) - 초거대 수학상수

이번 포스트에서는 실제로 수학의 증명에서 나타난 초거대 수학상수들에 대해 알아보고, 실제로 이 수가 얼마나 큰 수인지 가늠해보려고 한다. 제일 먼저 살펴볼 구골(Googol)등은 수학적으로 의미있는 상수는 아니지만(실제로 수학상수가 아니라 수를 표현하는 단위 중 하나이다), 워낙 유명하기 때문에(Google의 회사명이 Googol의 철자를 잘못 쓴 것에서 비롯되었다고 한다.) 함께 포함시켜 보았다.

1. 구골(Googol)과 구골플렉스(Googolplex)

구골(Googol)은 $10^{100}$, 다시 말해 1 뒤에 0이 100개 붙어 있는 수이다.  이 수의 이름은 1938년에 수학자 에드워드 카스너의 10살짜리 조카가 지었다고 한다. 

1부터 70까지 순서대로 곱하면 (70!) 약 1.2 구골이 된다. 우주 전체에 존재하는 원자의 숫자는 대략 $10^{80}$ 개 정도로 추정되며, 따라서 구골은 모든 원자의 개수보다 $10^{20}$배나 큰 숫자이다. 이렇게 큰 단위를 실제로는 써먹을 데가 없을 것 같지만 짐바브웨는 2008년 한 해에만 물가가 6,500만 구골 배나 상승했으며, 지뢰찾기 윈도우 고급(16x30, 지뢰 99개) 난이도에서 지뢰를 배치하는 모든 경우의 수는 56,022 구골 가지나 된다. 1초에 100조 가지를 계산하는 슈퍼컴퓨터를 동원한다 해도 1 구골 가지를 계산하는 데에는 약 317억 무량대수 년이 걸린다.

그리고 10을 구골만큼 제곱하면 ($ = 10^{10^{100}}$) 구골플렉스(Googolplex)가 된다. 또한 구골플렉시안(Googolplexian)이란 수도 있는데, 이는 10을 구골플렉스만큼 제곱한 수($=10^{10^{10^{100}}}$)이다. 구골플렉스를 마이크로소프트 워드 문서에 적을 경우 문서 파일을 저장하는 데에 200억(20,000,000,000) 테라바이트(=20제타바이트)가 필요하다고 한다. 사실 구골이나, 구골플렉스, 구골플렉시안은 수학적 의미가 없이 단순히 10의 거듭제곱을 반복한 거대한 수이기 때문에 수학적으로 그렇게 중요한 수는 아니다.

하지만 물리학자들에게는 의미가 있을 수도 있는데, 예를 들어 인간의 크기를 단순히 1m³이라 하면, 이정도 크기의 공간에서 양자가 배열될 수 있는 경우의 수는 $10^{10^{70}}$이다. 만약 우주가 1구골플렉스m 정도로 컸다면, 비둘기집의 원리에 의하여 양자가 똑같이 배열되어 있는 1m³크기의 공간을 무조건 찾을 수 있게 되고, 결국은 자신이 차지하고 있는 공간과 양자가 똑같이 배열되어 있는 공간, 즉 자신의 도플갱어를 보게 된다! 물론 관측 가능한 우주(observable universe)의 크기는 그 반지름은 약 465억 광년 (약 $4.399 \times 10^{26}$m)정도로 실제로 도플갱어를 볼 수 있는 확률은 수학적으로 제로에 가깝다.

2. 스큐스수 (Skewes' number)

스큐스수 (Skewes' number)란 남아프리카공화국의 수학자 스큐스(Stanley Skewes)가 제안한 수로써, 정수론에서 $\pi(n) > \text{li}(n)$을 만족하는 가장 작은 자연수를 의미한다. $\pi(n)$은 소수계량함수(prime -counting function)으로써 $n$보다 작거나 같은 소수의 개수를 나타내는 함수이며, $\text{li}(n)$은 로그 적분 함수(logarithmic integral function)로 $\int (1/\ln t)dt$를 $0$부터 $n$까지 정적분하는 함수( $ = \int_{0}^{n} \frac{1}{\ln t}dt $ )이다.

이 함수들은 일상적인 수 범위 내에서는 $\pi(n) < \text{li}(n)$, 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. 그렇지만 1914년, 스큐스의 스승인 리틀우드(John Edensor Littlewood)는 $n$이 엄청나게 커지면 $\pi(n)$과 $\text{li}(n)$의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 $n$을 무한히 증가시키면 그에 따라 $\pi(n)$과 $\text{li}(n)$의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명하였다.

1933년 스큐스는 리만 가설이 참이라 가정했을 때 $\pi(n) > \text{li}(n)$를 만족시키는 최초의 $n$의 상한선은 $e^{e^{e^{79}}}$, 대략 $10^{10^{10^{34}}}$ 정도라고 예측했다. 구골플렉스가 $10^{10^{10^{2}}}$ 이므로 스쿠스수를 구하기 위해서 구골플렉스를 17번 제곱해야 한다. 나아가 1955년에는 리만 가설을 이용하지 않았을 때 스큐즈수의 상한은  $ 10^{10^{10^{963}}} $임을 증명했는데, 이는 구골플렉스를 넘어 구골플렉시안인 $ 10^{10^{10^{100}}} $과 비교해볼 때 어마어마하게 거대한 수학상수임을 알 수 있다.

하지만 리만 가설의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대한 연구의 발전으로 현재 스큐스 수의 크기는 급격히 줄어들고 있다. 2010년에는 스큐스수의 크기가 $e^{727.95}$ 정도까지 떨어졌는데, 이는 대략 317자리 정도 되는 수라고 한다.

3. 그레이엄수(Graham's number)

수학자 그레이엄(Ronald Graham)은 이 램지이론(Ramsey theory) 분야의 어떤 특정한 문제의 해답에 대한 상계(upper bound)를 발견하고, 이 값에 그레이엄수(Graham's number)라는 이름을 붙였다. 이 문제는 다음과 같다. " $n$차원 초입방에의 $2^{n}$개의 꼭지점을 모두 연결한다. 그리고 여기서 나온 선을 두가지 색으로 모두 칠한다고 하자. 이때 선을 칠하는 방법에 상관 없이 동일 평면상에 있는 네 점을 연결한 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재하도록 하는 $n$의 값을 찾아라. "

그레이엄이 이 문제의 상계로써 제시한 그레이엄수 $G$를 크누스 화살표 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

$$ \left. \begin{matrix} & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ G &=&\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\ & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\ & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix} \right \} \text{64 layers} $$

만약 $g_{1} = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ 이라 하고, $n \geq 2$에 대하여, $ g_{n} = 3 \uparrow^{g_{n-1}} 3 $ 로 정의하면 그레이엄수는 $G = g_{64}$가 된다. 이 수가 어느정도나 큰 수인지 가늠해보기 위해 $g_{1}$만을 구해보도록 하자.

$$ g_{1} = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3) = 3 \uparrow \uparrow \uparrow 7,625,597,484,987 = \cdots $$

이미 $g_{1}$만 하더라도 그 자릿수를 가늠하기조차 어려울 정도로 큰 수인데, 그레이엄수는 이러한 연산을 64회 반복해야하므로 얼마나 이 수가 큰지 어느정도는 상상이 될 것이다. 콘웨이 화살표 사슬 표기법으로는 그레이엄수 $G$의 값을 정확하게 나타낼 수는 없지만 다음의 부등식이 알려져있다.

$$ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 < G < 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2 $$

많은 수학자들이 그레이엄수보다 더 작은 이 문제의 상계를 찾기 위해서 노력하였는데, 어느 수학자에 의해서 이 문제의 답이 $2 \uparrow \uparrow \uparrow 6$ 보다 작다는 논문이 발표되었다. 이 수는 그레이엄수 $G$에 비해 상대적으로 작은 수임은 분명하지만, 여전히 그 값을 계산할 수 없을 정도로 큰 수이다.