'소수의 제곱근은 유리수가 아니다'의 증명

$\sqrt{2}$가 무리수임은 매우 잘 알려져 있고, 그 증명 또한 매우 간단하다. 또한 이 증명법을 조금만 수정하면 임의의 소수 $p$에 대해서도 $\sqrt{p}$가 무리수임을 간단히 증명할 수 있다. 

이번 글에서는 소인수분해의 유일성을 이용하여 임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$가 무리수임 보이는 증명에 대해서 살펴보고자 한다. 먼저 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)이라고도 불리는 소인수분해의 유일성에 대해서 살펴보자.

정리. 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)

$1$이상의 모든 정수 $n$은 소수이거나 소수들의 곱으로 표현 (즉, 소인수분해를) 할 수 있다. 이 때, 인수들의 곱하는 순서를 무시하면 $n$의 소인수분해는 유일하다.

이제 이 사실을 바탕으로 임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$가 무리수임을 보여보자.

정리.

임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$는 무리수이다.

증명. $\sqrt{p}$가 유리수라고 가정하고, 적당한 양의 정수 $a,b$에 대하여 $\sqrt{p}=\frac{a}{b}$와 같이 나타내자. 그러면, $p{b}^2=a^2$을 얻는다. $p{b}^2$과 $a^2$은 $1$ 이상의 정수이므로 산술의 기본정리에 의해 소인수분해를 할 수 있다. 이 떄, $p{b}^2$의 소인수분해에는 소수 $p$가 홀수번 나타나고, $a^2$의 소인수분해에는 소수 $p$가 짝수번 나타나야만 한다. 하지만 이는 소인수분해의 유일성에 위배되므로, $\sqrt{p}$는 무리수이다.