로또에 당첨될 확률에 대하여 (1)

이번 포스트에서는 간단한 확률 계산으로 우리나라에서 파는 나눔로또 6/45의 당첨 확률을 계산해 보려고 한다. 한국에서 판매하는 로또는 1부터 45까지의 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 선택한 후, 이 숫자들이 특정한 조건을 만족할 경우에 당첨금을 지급하는 방식이다. 1등의 경우 6개의 숫자 모두를 맞추어야 하고, 2등은 5개의 숫자와 하나의 보너스 숫자, 3등은 5개의 숫자, 4등은 4개의 숫자, 5등은 3개의 숫자를 맞춰야 한다. 각각의 확률을 구하기 위하여 우선 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 총 선택하는 경우의 수를 구하여보자.

\[ _{45}C_{6} = \frac{49!}{6! \times 39!} = 8,145,060 \]

이제 1등이 당첨되게 하는 6개의 숫자를 '당첨숫자' 그 외의 39개의 숫자를 '비당첨숫자'라고 하자. 그러면, 1등에 당첨된다는 말은 45개의 숫자 중 6개의 당첨숫자와 0개의 비당첨숫자를 뽑는다는 말과 같다. 6개의 당첨숫자를 뽑는 경우의 수는 \( _{6}C_{6} = 1 \)이고, 0개의 비당첨숫자를 뽑는 경우의 수는 \( _{39}C_{0} = 1 \)이므로 이 두 경우의 수의 곱을 앞서 구한 총 경우의 수로 나누어 주면 1등이 당첨될 확률을 구할 수 있다.

\[\frac{_{6}C_{6} \cdot _{39}C_{0}}{_{45}C_{6}} = \frac{1}{8,145,060} \]

위와 유사하게 각각의 조건에 맞추어 1등~5등을 할 확률을 구해보면,

등수	당첨 조건	당첨 확률	비  고
1등	6개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{6} \cdot _{39}C_{0}}{_{45}C_{6}} = \frac{1}{8,145,060} \]	\[ \approx 0.00001\% \]
2등	5개의 숫자 + 보너스	\[\frac{_{6}C_{5} \cdot _{1}C_{1} \cdot _{38}C_{0}}{_{45}C_{6}} = \frac{6}{8,145,060} \]	\[ \approx 0.00007\% \]
3등	5개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{5} \cdot _{39}C_{1}}{_{45}C_{6}} - 6 = \frac{228}{8,145,060} \]	\[ \approx 0.00280\% \]
4등	4개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{4} \cdot _{39}C_{2}}{_{45}C_{6}} = \frac{11,115}{8,145,060} \]	\[ \approx 0.13646\% \]
5등	3개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{3} \cdot _{39}C_{3}}{_{45}C_{6}} = \frac{182,780}{8,145,060} \]	\[ \approx 2.24406\% \]
등외	2개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{2} \cdot _{39}C_{4}}{_{45}C_{6}} = \frac{1,233,765}{8,145,060} \]	\[ \approx 15.1474\% \]
등외	1개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{1} \cdot _{39}C_{5}}{_{45}C_{6}} = \frac{3,454,542}{8,145,060} \]	\[ \approx 42.4127\% \]
등외	0개의 숫자	\[\frac{_{6}C_{0} \cdot _{39}C_{6}}{_{45}C_{6}} = \frac{3,262,623}{8,145,060} \]	\[ \approx 40.0565\% \]

위의 식의 계산에서 2등에 당첨되기 위해서 6개의 당첨숫자중 5개를 맞추고, 추가적으로 주어지는 보너스 숫자를 맞추어야 하기 때문에, 다른 경우와는 약간 다르게 계산을 하였다. 그리고 3등에 당첨될 경우의 수가 2등에 당첨될 경우의 수를 포함하고 있기 때문에, 3등에 당첨될 경우의 수에서 2등의 당첨될 경우의 수인 6을 빼주었다. 위의 표를 보면 알 수 있듯이 실제로 5등 이상에 당첨되어 당첨금을 받게 될 확률은 약 \(2.3834\%\) 밖에 되지 않는다는 사실을 알 수 있다. 또한, 45개의 숫자중에 6개의 숫자를 뽑았을 때에, 6개의 숫자를 모두 맞추지 못 할 확률보다, 그래도 1개의 숫자를 맞힐 확률이 더 높다는 사실도 흥미로워 보인다.