Problems and Solution #045

Problem #045

다음 방정식을 만족하는 $x$의 값을 구하여라.

$${(1-\frac{1}{x})}^{x-1}={(1-\frac{1}{2018})}^{2018}$$

위 방정식의 좌변에 $x=1-y$로 치환을 하면,

$$\begin{array}{rl}{(1-\frac{1}{x})}^{x-1}& ={(1-\frac{1}{1-y})}^{-y}={\left(\frac{-y}{1-y}\right)}^{-y}\\ & ={\left(\frac{y}{y-1}\right)}^{-y}={\left(\frac{y-1}{y}\right)}^y={(1-\frac{1}{y})}^y\end{array}$$

임을 알 수 있다. 따라서

$${(1-\frac{1}{y})}^y={(1-\frac{1}{x})}^{x-1}={(1-\frac{1}{2018})}^{2018}$$

이고 $y=2018$을 얻는다. 따라서 $x=1-y=-2017$.