다음 등식을 증명하여라.
\[ \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \cos((n+\frac{1}{2})x)}{2 \sin(\frac{x}{2})} \]
풀이 1. 삼각함수의 곱을 합차로 바꾸는 공식에 의해서
\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin(kx) \sin(\tfrac{x}{2}) &= \sum_{k=1}^{n} \left\{ \cos((k - \tfrac{1}{2})x) - \cos((k + \tfrac{1}{2})x) \right\} \\[5px] &= \cos(\tfrac{x}{2}) - \cos((n+\tfrac{1}{2})x) \end{align*} \]
따라서 식위 식의 양변에 $2 \sin(\tfrac{x}{2})$를 곱해주면 원하는 등식을 얻는다.
풀이 2. 오일러 항등식(Euler's identity)을 이용하면
\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \exp(ikx) &= \exp(ix) \frac{\exp(inx) - 1}{\exp(ix) - 1} \\[5pt] &= \frac{\exp(i(n+\frac{1}{2})x) - \exp(\frac{ix}{2})}{\exp(\frac{ix}{2}) - \exp(-\frac{ix}{2})} \\[5px] &= \frac{\cos((n+\frac{1}{2})x) + i\sin((n+\frac{1}{2})x) - \cos(\frac{x}{2}) - i\sin(\frac{x}{2})}{2i \sin(\frac{x}{2})} \\[5px] &= \left( \frac{\sin((n+\frac{1}{2})x) - \sin(\frac{x}{2})}{2 \sin(\frac{x}{2})} \right) + i \left( \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \cos((n+\frac{1}{2})x)}{2 \sin(\frac{x}{2})} \right) \end{align*} \]
그러므로 위 식의 허수부와 실수부만을 각각 택하면 다음을 얻는다.
\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) &= \operatorname{Im} \left( \sum_{k=1}^{n} \exp(ikx) \right) = \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \cos((n+\frac{1}{2})x)}{2 \sin(\frac{x}{2})} \\[5px] \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) &= \operatorname{Re} \left( \sum_{k=1}^{n} \exp(ikx) \right) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2})x) - \sin(\frac{x}{2})}{2 \sin(\frac{x}{2})} \tag*{$\blacksquare$} \end{align*} \]
