Problems and Solutions #046

Problem #046

다음 등식을 증명하여라.

$$\sum _{k=1}^n\sin (kx)=\frac{\cos (\frac{x}{2})-\cos ((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin (\frac{x}{2})}$$

풀이 1. 삼각함수의 곱을 합차로 바꾸는 공식에 의해서

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}2\sin (kx)\sin (\frac{x}{2})& =\sum _{k=1}^n\{\cos ((k-\frac{1}{2})x)-\cos ((k+\frac{1}{2})x)\}\\ & =\cos (\frac{x}{2})-\cos ((n+\frac{1}{2})x)\end{array}$$

따라서 식위 식의 양변에 $2\sin (\frac{x}{2})$를 곱해주면 원하는 등식을 얻는다.

풀이 2. 오일러 항등식(Euler's identity)을 이용하면

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n\exp (ikx)& =\exp (ix)\frac{\exp (inx)-1}{\exp (ix)-1}\\ & =\frac{\exp (i(n+\frac{1}{2})x)-\exp (\frac{ix}{2})}{\exp (\frac{ix}{2})-\exp (-\frac{ix}{2})}\\ & =\frac{\cos ((n+\frac{1}{2})x)+i\sin ((n+\frac{1}{2})x)-\cos (\frac{x}{2})-i\sin (\frac{x}{2})}{2i\sin (\frac{x}{2})}\\ & =\left(\frac{\sin ((n+\frac{1}{2})x)-\sin (\frac{x}{2})}{2\sin (\frac{x}{2})}\right)+i\left(\frac{\cos (\frac{x}{2})-\cos ((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin (\frac{x}{2})}\right)\end{array}$$

그러므로 위 식의 허수부와 실수부만을 각각 택하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n\sin (kx)& =\mathrm{Im}(\sum _{k=1}^n\exp (ikx))=\frac{\cos (\frac{x}{2})-\cos ((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin (\frac{x}{2})}\\ ◼& \sum _{k=1}^n\cos (kx)& =\mathrm{Re}(\sum _{k=1}^n\exp (ikx))=\frac{\sin ((n+\frac{1}{2})x)-\sin (\frac{x}{2})}{2\sin (\frac{x}{2})}\end{array}$$