\(\sqrt{-1}=i\), 그렇다면 \(\sqrt{i}=?\)

$x^2+1=0$이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 $-1$이 되는 수, 즉 $x^2=-1$을 만족하는 $x$의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은 음수가 나올 수 없으므로, 주어진 방정식은 실수 범위 내에서 해를 구할 수 없다. 따라서 이 방정식을 풀기 하여, 수 체계를 확장해야 할 필요성을 느끼는데, 다시말해 제곱해서 음수가 나올 수도 있는 수 체계로의 확장이 필요할 것 같다. 만일 제곱해서 $-1$이 되는 수, 즉 $\sqrt{-1}$의 존재를 인정한다면, 위의 방정식의 해는 $+\sqrt{-1}$ 또는 $-\sqrt{-1}$이 된다. 또한 $x^2-2x+5$ 같은 방정식의 경우도 실수 범위에서는 그 해를 구할 수 없었지만, 실제로 $1\pm 2\sqrt{-1}$와 같은 형식으로 방정식의 근을 표현해 낼 수 있다. 직관적으로 봤을 때 존재할 수 없을 것 같지만, 실제로 방정식의 근이 되고 실제로 이러한 수들의 사칙연산이 자연스럽게 정의되기 때문에, 수학자들은 이 수의 가치를 인정하고 허수(imaginary number)의 앞글자를 따서 허수단위 $i=\sqrt{-1}$라 부르기 시작했다. 또한, 실수체계에 이 허수단위를 추가한 복소수(complex number)라는 확장된 수 체계를 만들어내었다. 

그렇다면 제곱해서 $i$가 나오는 수는 무엇일까? 다시 말해 $x^2=i$를 만족하는 근을 복소수 체계 안에서 구할 수 있을까? $x^2=-1$의 근을 실수 체계 안에서 구할 수 없어 복소수라는 확장된 수 체계를 만들어 냈듯이, 이 방정식 $x^2=i$을 풀기 위해서 새로운 수의 단위 $j=\sqrt{i}$라는 수를 만들어야 할까? 다행이도 정답은 '그렇지 않다'이다. 이 방정식의 근이 존재한다는 사실은 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)가 보장해 준다.

대수학의 기본정리란 '상수가 아닌 복소수를 계수로 갖는 $n$차 다항방정식은 중근을 포함하여 정확하게 $n$개의 복소수 근을 갖는다'이다. 다시말해 임의의 $n$차 복수계수 다항식

$$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n,a_0\ne 0,n\ge 1$$

에 대하여 복소수 $z_1,z_2,\cdots ,z_n$이 존재하여, 모든 $k=1,\cdots ,n$에 대하여 $p(z_k)=0$을 만족한다는 뜻이다. $x^2=i$도 이차 복소계수 다항식이므로 대수학의 기본정리에 의해 이 방정식을 만족하는 복소수근이 두개 존재한다는 사실을 알 수 있다.

이제 실제로 이 방정식의 근을 구해보자. $a+ib$를 이 방정식의 근이라 가정하고 주어진 방정식에 대입하면, $(a+ib{)}^2=i$가 됨을 알 수 있다. 두 실수 $a$와 $b$의 값을 구하기 위해 식을 정리하면,

$$a^2-b^2+i(2ab-1)=0$$

이 되므로 $a^2-b^2=0$과 $2ab-1=0$을 동시에 만족하는 $a$와 $b$를 찾아야한다. 우선 첫번째 조건으로 $a=\pm b$임을 알수 있다. 만약 $a=-b$인 경우, 두번째 조건을 만족하는 두 실수가 존재하지 않는다. 따라서 $a=b$를 두번째 식에 대입하여 풀면, $2a^2-1=0$이 되고, $a=b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$임을 어렵지 않게 구할 수 있다. 따라서 방정식 $x^2=i$의 근은 $\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$ 또는 $-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$가 된다.

실수와는 달리 복소수 범위에서는 모든 복소계수 다항식의 근을 구할 수 있기 때문에, 이를 대수적으로 닫혀있다(algebraically closed)고 한다. 이는 실수 체계는 가지지 못하는 복소수 체계의 중요한 성질 중 하나이다.