\(\sqrt{-1}=i\), 그렇다면 \(\sqrt{i}=?\)

\( x^{2} + 1 = 0 \)이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(x^{2} = -1\)을 만족하는 \(x\)의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은 음수가 나올 수 없으므로, 주어진 방정식은 실수 범위 내에서 해를 구할 수 없다. 따라서 이 방정식을 풀기 하여, 수 체계를 확장해야 할 필요성을 느끼는데, 다시말해 제곱해서 음수가 나올 수도 있는 수 체계로의 확장이 필요할 것 같다. 만일 제곱해서 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(\sqrt{-1}\)의 존재를 인정한다면, 위의 방정식의 해는 \(+\sqrt{-1}\) 또는 \(-\sqrt{-1}\)이 된다. 또한 \(x^{2} - 2x + 5\) 같은 방정식의 경우도 실수 범위에서는 그 해를 구할 수 없었지만, 실제로 \(1 \pm 2 \sqrt{-1}\)와 같은 형식으로 방정식의 근을 표현해 낼 수 있다. 직관적으로 봤을 때 존재할 수 없을 것 같지만, 실제로 방정식의 근이 되고 실제로 이러한 수들의 사칙연산이 자연스럽게 정의되기 때문에, 수학자들은 이 수의 가치를 인정하고 허수(imaginary number)의 앞글자를 따서 허수단위 \(i=\sqrt{-1}\)라 부르기 시작했다. 또한, 실수체계에 이 허수단위를 추가한 복소수(complex number)라는 확장된 수 체계를 만들어내었다. 

그렇다면 제곱해서 \(i\)가 나오는 수는 무엇일까? 다시 말해 \(x^{2}=i\)를 만족하는 근을 복소수 체계 안에서 구할 수 있을까? \(x^{2}=-1\)의 근을 실수 체계 안에서 구할 수 없어 복소수라는 확장된 수 체계를 만들어 냈듯이, 이 방정식 \(x^{2}=i\)을 풀기 위해서 새로운 수의 단위 \(j=\sqrt{i}\)라는 수를 만들어야 할까? 다행이도 정답은 '그렇지 않다'이다. 이 방정식의 근이 존재한다는 사실은 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)가 보장해 준다.

대수학의 기본정리란 '상수가 아닌 복소수를 계수로 갖는 \(n\)차 다항방정식은 중근을 포함하여 정확하게 \(n\)개의 복소수 근을 갖는다'이다. 다시말해 임의의 \(n\)차 복수계수 다항식

\[p(z) = a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + \cdots + a_{n}z^{n}, \qquad a_{0} \neq 0, \ n \geq 1 \]

에 대하여 복소수 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)이 존재하여, 모든 \(k=1, \cdots, n\)에 대하여 \(p(z_{k})=0\)을 만족한다는 뜻이다. \(x^{2}=i\)도 이차 복소계수 다항식이므로 대수학의 기본정리에 의해 이 방정식을 만족하는 복소수근이 두개 존재한다는 사실을 알 수 있다.

이제 실제로 이 방정식의 근을 구해보자. \(a+ib\)를 이 방정식의 근이라 가정하고 주어진 방정식에 대입하면, \( (a+ib)^{2}=i\)가 됨을 알 수 있다. 두 실수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하기 위해 식을 정리하면,

\[ a^{2} - b^{2} + i(2ab-1) = 0 \]

이 되므로 \(a^{2} - b^{2} = 0\)과 \(2ab-1=0\)을 동시에 만족하는 \(a\)와 \(b\)를 찾아야한다. 우선 첫번째 조건으로 \(a = \pm b\)임을 알수 있다. 만약 \(a=-b\)인 경우, 두번째 조건을 만족하는 두 실수가 존재하지 않는다. 따라서 \(a=b\)를 두번째 식에 대입하여 풀면, \(2a^{2}-1=0\)이 되고, \(a=b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)임을 어렵지 않게 구할 수 있다. 따라서 방정식 \(x^{2}=i\)의 근은 \(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\) 또는 \(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\)가 된다.

실수와는 달리 복소수 범위에서는 모든 복소계수 다항식의 근을 구할 수 있기 때문에, 이를 대수적으로 닫혀있다(algebraically closed)고 한다. 이는 실수 체계는 가지지 못하는 복소수 체계의 중요한 성질 중 하나이다.