반지름이 $1$인 원 위에 같은 간격으로 $n \geq 2$개의 점 $p_0,\, p_1,\, \ldots,\, p_{n-1}$이 찍혀
있다고 하자. 또한 점 $p_0$와 $p_k$, ($k=1,\, 2,\, \ldots,\, n-1$)를 잇는 현(chord)을 각각 $d_k$로 나타내자. 이 때, 이 현들의 길이의 곱은 언제나 $n$이 됨을 증명하여라. 아래의 그림은 $n=7$인 경우를 나타낸다.
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복소좌표 위에 원점을 원의 중심으로 하는 단위원을 그리면, 점 $p_k$의 좌표는 극좌표를 이용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\[ p_k = \left( \cos\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right),\, \sin\left(
\tfrac{2k\pi}{n} \right) \right). \]
이제 현 $d_k$의 길이를 $\overline{d_k}$라 나타내면,
\[ \begin{align*} \overline{d_k}^2 &= \left( \cos\left( \tfrac{2k\pi}{n}
\right) - 1 \right)^2 + \sin^2\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right) \\ &=
\cos^2\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right) - 2 \cos\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right) +
1 + \sin^2\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right) \\ &= 2 - 2\cos\left(
\tfrac{2k\pi}{n} \right) \\ &= 4\sin^2\left( \tfrac{k\pi}{n} \right)
\end{align*} \]
를 얻는다. 이 때, 세번째와 네번째의 등식에 차례로 항등식 $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$과
반각공식 $\sin^2(\theta/2) = (1-\cos(\theta))/2$를 이용하여 식을 정리하였다. 따라서
$\overline{d_k} = 2\sin\left( \tfrac{k\pi}{n} \right)$와 같고 모든 현의 길이의 곱은
\[ \prod_{k=1}^{n-1} \overline{d_k} = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\left(
\frac{k\pi}{n} \right) \]
를 계산하여 구할 수 있다. 이제 우변의 곱을 계산해보자. 우선 오일러의
공식(Euler's formula) 을 적당히 변형하면
\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \quad \implies \quad
\sin(\theta) = \frac{1}{2i} \left( e^{i\theta} - e^{-i\theta} \right) \]
를 얻을 수 있고, $\theta = \tfrac{k\pi}{n}$를 대입하여 정리하면,
\[ \begin{align*} \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\left( \frac{k\pi}{n} \right)
&= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{1}{i} \left( e^{i\frac{k\pi}{n}} -
e^{-i\frac{k\pi}{n}} \right) \\ &= \frac{1}{i^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1}
\left( e^{i\frac{k\pi}{n}} - e^{-i\frac{k\pi}{n}} \right) \\ &=
\frac{1}{i^{n-1}} \underbrace{\prod_{k=1}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}}}_{(\ast)}
\underbrace{\prod_{k=1}^{n-1} \left( 1 - e^{-i\frac{2k\pi}{n}}
\right)}_{(\ast\ast)} \end{align*} \]
먼저 우변의 첫번째 곱 $(\ast)$을 계산해 보자.
\[ \prod_{k=1}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}} = \exp\left( \sum_{k=1}^{n-1}
i\frac{k\pi}{n} \right) = e^{i(n-1)\pi} = \left( e^{i\pi} \right)^{n-1} =
i^{n-1}. \]
이제 우변의 두번째 곱 $(\ast\ast)$을 계산하기 위하여 아래와 같이 $(n-1)$차 다항식을 정의하자.
\[ p(x) = \prod_{k=1}^{n-1} \left( x - e^{-i\frac{2k\pi}{n}} \right) \]
그러면 $(\ast\ast)$의 값은 $p(x)$에서 $x=1$일 때의 값과 같음을 알 수 있다. 또한 이 다항식 $p(x)$의
$(n-1)$개의 근은 $n$차 다항식 $x^n - 1 = 0$에 $x=1$을 제외한 $(n-1)$의 근과 같으므로,
\[ p(x) = \frac{x^n-1}{x-1} = x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1. \]
을 얻는다. 이제 $p(1) = n$이므로 $(\ast\ast)$의 값 또한 $n$이 된다. 이 결과를 모두 종합하면
\[ \frac{1}{i^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1} e^{i\frac{k\pi}{n}} \prod_{k=1}^{n-1}
\left( 1 - e^{-i\frac{2k\pi}{n}} \right) = \frac{1}{i^{n-1}} \cdot i^{n-1}
\cdot n = n. \]
그러므로 모든 현의 길이의 곱은 언제나 $n$이 됨을 알 수 있다.
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