Degree Theory (4) - Applications

이번에는 Degree theory와 Brouwer fixed theorem의 다양한 활용성에 대해 살펴보기 위하여, 이들을 이용한 몇 가지 증명을 알아보려고 한다. 먼저 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)를 degree theory를 이용하여 증명해보자.

Theorem 4.1 (Fundamental Theorem of Algebra)

상수가 아닌 복소수 계수 다항식(polynomial with complex coefficient)은 적어도 하나의 근을 갖는다. 즉, 복소계수 다항식

\[ p(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} = \cdots + a_1 z + a_0, \qquad a_n \neq 0, \quad n \geq 1 \]

에 대하여 $p(z)=0$을 만족하는 복소수 $z$가 적어도 하나 존재한다.

Proof: 먼저 증명을 간단히 하기 위하여 $a_n=1$이라 가정하자. 다음으로 open bounded set $\Omega := \{ z \in \mathbb{C}^n : |z| < R \}$을 정의하자. ($R$의 값은 나중에 정할 것이다.) 또한 continuous mapping $h : [0,\,1] \times \bar{\Omega} \to \bar{\Omega}$를 

\[ h(t,\,z) := z^n + t (a_{n-1}z^{n-1} = \cdots + a_1 z + a_0), \qquad \text{for all} \quad (t,\,x) \in [0,\,1] \times \bar{\Omega} \]

로 정의하자. 우선 $h(0,\,z) = z^n$, $h(1,\, z) = p(z)$임을 알 수 있고, 

\[ |h(t,\,z)| \geq z^n - \sum_{i=0}^{n-1} t|a_i|z^i \geq R^n - \sum_{i=0}^{n-1} t|a_i|R^i \geq R^n - \sum_{i=0}^{n-1} t|a_i|R^{n-1} = R^n \left( 1- \frac{\sum_{i=0}^{n-1}t|a_i|}{R} \right) \]

이 성립한다. 따라서 $\sum_{i=0}^{n-1}t|a_i| < R$을 만족하도록 $R$을 충분히 크게 잡아주면, $|h(t,\,z)| >0$ 이 되어 모든 $t \in [0,\,1]$와 $x \in \partial \Omega$에 대하여 $h(t,\,x) \neq 0$임을 알 수 있다. 따라서, Theorem 2.3 (Homotopy Invariance Theorem)에 의하여

\[ \operatorname{deg}(p(z),\, \Omega,\, 0) = \operatorname{deg}(z^n,\, \Omega,\, 0) = n\]

이다. (두번째 등식에 대한 증명은 생략한다.) 따라서 Theorem 2.1 (Solution Property)에 의해 $p(z) = 0$의 해가 존재함을 알 수 있다. ■

두번째로 알아볼 정리는 행렬 대수학(Matrix Algebra)에서 가장 중요한 증명중에 하나인 Perron-Frobenious theorem이다.

Theorem 4.2 (Perron-Frobenious Theorem)

$A = [a_{ij}]$가 $n \times n$ positive matrix라 하자. (즉, 모든 $i,\,j$에 대하여 $a_{ij} >0$) 그러면 eigenpair $(\lambda,\, x)$가 존재하여 다음을 만족한다.

\[ Ax = \lambda x, \qquad x_i > 0 \quad \text{for all} \quad i, \qquad \text{and} \qquad \lambda > 0 \]

Proof: 먼저 집합

\[ S := \{ x \in \mathbb{R}^n : \textstyle{\sum}_j x_j = 1,\ x_j>0 \} \]

벡터 $e := (1,\,1,\, \ldots,\, 1) \in \mathbb{R}^n$을 정의하고, mapping $f: \bar{S} \to S(\subseteq \bar{S})$를 아래와 같이 정의한다.

\[ f(x) := \frac{Ax}{\langle Ax,\, e \rangle} \]

먼저 모든 $i,\,j$에 대하여 $a_{ij}>0$이고 $x_j>0$임을 기억하자. 따라서 모든 $x \in \bar{S}$에 대하여 $f(x) \in S$임은 간단히 보일수 있다. (따라서 $f$는 잘 정의된다.) 또한 $Ax$의 모든 항은 양수이므로 $\langle Ax,\, e \rangle > 0$임을 알 수 있고, $f$는 연속임을 알 수 있다. 따라서 Theorem 3.1 (Brouwer Fixed Point Theorem)에 의하여 $f(x)=x$를 만족하는 $x \in \bar{S}$가 존재한다. 이제 $\lambda := 1/\langle Ax,\, e \rangle$로 정의하면, $\lambda>1$이고 최종적으로 $Ax = \lambda x$를 얻는다. ■

Remark: 연속성(continuity)에 의하여, $A = [a_{ij}]$가 non-negative matrix (즉, 모든 $i,\,j$에 대하여 $a_{ij} \geq 0$)일 때에도, Perron-Frobenious theorem이 성립함을 보일 수 있다. 이 경우에는 non-negative eigenpair $(\lambda,\,x)$를 얻는다.