이번에는 Degree theory와 Brouwer fixed theorem의 다양한 활용성에 대해 살펴보기 위하여, 이들을 이용한 몇 가지 증명을 알아보려고 한다. 먼저 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)를 degree theory를 이용하여 증명해보자.
Theorem 4.1 (Fundamental Theorem of Algebra)
상수가 아닌 복소수 계수 다항식(polynomial with complex coefficient)은 적어도 하나의 근을 갖는다. 즉, 복소계수 다항식
에 대하여
Proof: 먼저 증명을 간단히 하기 위하여
로 정의하자. 우선
이 성립한다. 따라서
이다. (두번째 등식에 대한 증명은 생략한다.) 따라서 Theorem 2.1 (Solution Property)에 의해
두번째로 알아볼 정리는 행렬 대수학(Matrix Algebra)에서 가장 중요한 증명중에 하나인 Perron-Frobenious theorem이다.
Theorem 4.2 (Perron-Frobenious Theorem)
Proof: 먼저 집합
벡터
먼저 모든
Remark: 연속성(continuity)에 의하여,
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