[퍼온글] 여러가지 재미있는 풀이들

※ 출처는 http://kevin0960.tistory.com/

1 = -1 이다.

이 문제의 경우 많은 (틀린)증명들이 있다. 하나씩 살펴보도록 하자 .

방법 1

우선 $-1=-1$이 자명하게 성립한다. 이제 이 식을 분수로 변형하고 양변에 루트를 씌우면

$$\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}\Rightarrow \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$$

이제 양변에 $\sqrt{1}\cdot \sqrt{-1}$을 곱해주면

$$\sqrt{1}\cdot \sqrt{1}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}$$

이 때, (실수와 허수를 포함한) 모든 수에 대하여 그 수의 근호의 제곱은 원래 수를 도출하므로, $1=-1$를 얻는다.

$$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$$

가 성립하려면, $x,y$ 모두 양수 여야 한다.

방법 2

제곱근의 성질에 의하여 아래 식을 얻는다.

$$1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$$

$$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$$

가 성립하기 위해서는 $x,y$ 중 적어도 하나는 양의 실수여야 한다.

방법 3

거듭제곱의 성질에 의하여 아래 식을 얻는다.

$$-1=(-1{)}^3=(-1{)}^{\frac{6}{2}}=((-1{)}^6{)}^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1$$

$a^{bc}=(a^b{)}^c$가 성립 하려면 $a$가 양수여야 하지만 위의 경우 $a=-1$로 음수이므로 모순.

방법 4

다음은 삼각함수에 관한 항등식를 이용한 증명이다: 우선 아래의 식이 성립한다.

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$$

이 때 양변에 $3/2$제곱을 취하면

$${\cos }^{3}x=({\cos }^{2}x{)}^{\frac{3}{2}}=(1-{\sin }^{2}x{)}^{\frac{3}{2}}$$

이제 $x=\pi$를 대입하면

$$-1=(1-0{)}^{\frac{3}{2}}\Rightarrow -1=1$$

따라서 $-1=1$이 성립한다.

방법 4의 오류와 마찬가지로 $(a^b{)}^c=a^{bc}$ 가 성립하려면 $a$가 양수여야 하는데 이 경우, $a=\cos \varphi ==1$이므로 모순이다.

모든 실수 $x,y$에 대하여 $x=y$이다.

우리는 $a^b=a^c$가 성립하면, $b=c$임을 알 고 있다. 그런데 $1^x=1^y$이므로 $x=y$이다.

이는 $a\ne 1$일 때 만 성립하므로 말이 안된다.

$2=1$ 이다.

우선 $0$이 아닌 적당한 실수 $a,b$에 대하여, $a=b$가 성립한다고 하자. 이 식의 양변에 $a$를 곱하면

$$a^2=ab$$

가 된다. 이제 양변에서 $b^2$를 빼주고 인수분해를 하면,

$$a^2-b^2=ab-b^2\Rightarrow (a-b)(a+b)=b(a-b)$$

가 된다. 이제 양변을 $a-b$로 나누면 $a+b=b$이다. 그런데 위의 조건에서 $a=b$이므로 $b+b=b$여야만 하고 따라서 $2=1$이 성립한다.

이 증명의 오류는 $a-b$로 나누는 부분인데, 처음에 $a=b$를 가정했으므로 $a-b=0$이 되어 $0$으로 나누는 셈이 된다.

$0=1$ 이다.

다음과 같은 무한한 수열을 정의하자.

$$0=0+0+0+\cdots$$

$0=1-1$이므로 이를 위 식의 우변에 대입하면

$$0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$

또한 위 수열을 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

$$0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$

이 때 $-1+1=0$이므로,

$$0=1+0+0+0+\cdots$$

따라서 $0=1$을 얻는다.

위 증명의 오류는 덧셈의 결합법칙이 무한급수에서는 자유롭게 성립 할 수 없음에서 나온다.

모든 각의 크기는 0도 이다.

먼저 직사각형 $ABCD$가 주어졌다고 하자. 이제 평면위에 $DC=EC$ 인 점 $E$를 잡자 단, $\mathrm{\angle }DCE\ne 0$이라 가정하자. 또한 선분 $AD$의 중점 $F$와 $AE$의 중점 $G$를 잡고 $F$와 $G$의 수선의 교점(즉, $AD$와 $AE$의 수직이등분선의 교점) 을 $H$라 하자. 이 때, $H$는 선분 $AD$의 수직이등분선 위의 점이므로 $AH$와 $AD$가 같고 마찬가지로 $AH$와 $HE$가 같다. 따라서 $DH$와 $HE$는 같다. 즉, $AH=DH=HE$를 얻는다.

또한 $ABCD$가 직사각형 이므로 $AB=DC$이고 $DC=EC$인 점 $E$를 잡았으므로 $AB=DC=EC$이다. 마지막으로 $AD$, $BC$가 서로 평행하므로 선분 $FH$는 $BC$를 수직이등분하고 따라서 $BH=CH$ 이다.

따라서 $\mathrm{△}ABH\equiv \mathrm{△}DCH\equiv \mathrm{△}HCE$이다. (SSS 합동) 따라서 $\mathrm{\angle }DCH=\mathrm{\angle }ECH$이다. 그런데, $\mathrm{\angle }ECH=\mathrm{\angle }DCH+\mathrm{\angle }DCE$이므로 $\mathrm{\angle }DCE=0$일 수 밖에 없다. 따라서 모순이 발생하고, 결과적으로 모든 각은 $0$도이다.

이 증명의 오류는 마지막 단계에서 나타난다. 위 그림을 정확하게 그린다면, $\mathrm{△}ECH$의 모습은 직선 $CH$에 대해 $\mathrm{△}DCH$의 반대쪽에 나타난다. 따라서 $\mathrm{\angle }ECH=\mathrm{\angle }DCH+\mathrm{\angle }DCE$란 식은 아무 의미가 없다.