[퍼온글] 여러가지 재미있는 풀이들

※ 출처는 http://kevin0960.tistory.com/

1 = -1 이다.

이 문제의 경우 많은 (틀린)증명들이 있다. 하나씩 살펴보도록 하자 .

방법 1

우선 $-1 = -1$이 자명하게 성립한다. 이제 이 식을 분수로 변형하고 양변에 루트를 씌우면

\[ \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} \]

이제 양변에 $\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1}$을 곱해주면

\[ \sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} \]

이 때, (실수와 허수를 포함한) 모든 수에 대하여 그 수의 근호의 제곱은 원래 수를 도출하므로, $1 = -1$를 얻는다.

\[ \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \]

가 성립하려면, $x,\,y$ 모두 양수 여야 한다.

방법 2

제곱근의 성질에 의하여 아래 식을 얻는다.

\[ 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1 \]

\[ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} \]

가 성립하기 위해서는 $x,\,y$ 중 적어도 하나는 양의 실수여야 한다.

방법 3

거듭제곱의 성질에 의하여 아래 식을 얻는다.

\[ -1 = (-1)^3 = (-1)^{\frac{6}{2}} = ((-1)^6)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 \]

$a^{bc} = (a^b)^c$가 성립 하려면 $a$가 양수여야 하지만 위의 경우 $a=-1$로 음수이므로 모순.

방법 4

다음은 삼각함수에 관한 항등식를 이용한 증명이다: 우선 아래의 식이 성립한다.

\[ \cos^2 x =1- \sin^2 x \]

이 때 양변에 $3/2$제곱을 취하면

\[ \cos^3 x = (\cos^2 x)^{\frac{3}{2}} = (1 - \sin^2 x)^{\frac{3}{2}} \]

이제 $x = \pi$를 대입하면

\[ -1=(1-0)^{\frac{3}{2}} \quad \Rightarrow \quad -1=1 \]

따라서 $-1 = 1$이 성립한다.

방법 4의 오류와 마찬가지로 $(a^b)^c = a^{bc}$ 가 성립하려면 $a$가 양수여야 하는데 이 경우, $a = \cos \phi = =1$이므로 모순이다.

모든 실수 $x,\,y$에 대하여 $x=y$이다.

우리는 $a^b = a^c$가 성립하면, $b=c$임을 알 고 있다. 그런데 $1^x = 1^y$이므로 $x=y$이다.

이는 $a \neq 1$일 때 만 성립하므로 말이 안된다.

$2=1$ 이다.

우선 $0$이 아닌 적당한 실수 $a,\,b$에 대하여, $a = b$가 성립한다고 하자. 이 식의 양변에 $a$를 곱하면

\[ a^2 = ab \]

가 된다. 이제 양변에서 $b^2$를 빼주고 인수분해를 하면,

\[ a^2 - b^2 = ab - b^2 \quad \Rightarrow \quad (a - b)(a + b) = b(a - b) \]

가 된다. 이제 양변을 $a-b$로 나누면 $a + b = b$이다. 그런데 위의 조건에서 $a=b$이므로 $b + b = b$여야만 하고 따라서 $2 = 1$이 성립한다.

이 증명의 오류는 $a-b$로 나누는 부분인데, 처음에 $a=b$를 가정했으므로 $a-b=0$이 되어 $0$으로 나누는 셈이 된다.

$0 = 1$ 이다.

다음과 같은 무한한 수열을 정의하자.

\[ 0 = 0 + 0 + 0 + \cdots \]

$0 = 1-1$이므로 이를 위 식의 우변에 대입하면

\[ 0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots \]

또한 위 수열을 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

\[ 0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots \]

이 때 $-1+1=0$이므로,

\[ 0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots \]

따라서 $0 = 1$을 얻는다.

위 증명의 오류는 덧셈의 결합법칙이 무한급수에서는 자유롭게 성립 할 수 없음에서 나온다.

모든 각의 크기는 0도 이다.

먼저 직사각형 $ABCD$가 주어졌다고 하자. 이제 평면위에 $DC = EC$ 인 점 $E$를 잡자 단, $\angle DCE \neq 0$이라 가정하자. 또한 선분 $AD$의 중점 $F$와 $AE$의 중점 $G$를 잡고 $F$와 $G$의 수선의 교점(즉, $AD$와 $AE$의 수직이등분선의 교점) 을 $H$라 하자. 이 때, $H$는 선분 $AD$의 수직이등분선 위의 점이므로 $AH$와 $AD$가 같고 마찬가지로 $AH$와 $HE$가 같다. 따라서 $DH$와 $HE$는 같다. 즉, $AH = DH = HE$를 얻는다.

또한 $ABCD$가 직사각형 이므로 $AB=DC$이고 $DC=EC$인 점 $E$를 잡았으므로 $AB = DC = EC$이다. 마지막으로 $AD$, $BC$가 서로 평행하므로 선분 $FH$는 $BC$를 수직이등분하고 따라서 $BH = CH$ 이다.

따라서 $\triangle ABH \equiv \triangle DCH \equiv \triangle HCE$이다. (SSS 합동) 따라서 $\angle DCH = \angle ECH$이다. 그런데, $\angle ECH = \angle DCH + \angle DCE$이므로 $\angle DCE = 0$일 수 밖에 없다. 따라서 모순이 발생하고, 결과적으로 모든 각은 $0$도이다.

이 증명의 오류는 마지막 단계에서 나타난다. 위 그림을 정확하게 그린다면, $\triangle ECH$의 모습은 직선 $CH$에 대해 $\triangle DCH$의 반대쪽에 나타난다. 따라서 $\angle ECH = \angle DCH + \angle DCE$란 식은 아무 의미가 없다.