자연상수를 근사하는 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital formula)

온자리 수(pandigital number)란 $0$ 부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 적어도 한번씩 사용하여 만든 $10$자리 이상의 정수를 말한다. 특히 $0$부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 단 한번씩만 사용하여 만든 $10$자리 정수를 완전 온자리 수(perfect pandigital number)라 한다. 예를 들어 가장 작은 $10$자리 완전 온자리 수와 가장 큰 $10$자리 완전 온자리 수는 각각

\[ 1023456789, \quad 9876543210 \]

가 된다. 완전 온자리 수에 대한 잘 알려진 퍼즐이 하나 있는데 이곳에서 관련 퍼즐에 대한 설명을 확인할 수 있다. 

하지만 완전 온자리 수의 갯수는 매우 제한적이므로, $0$ 부터 $9$ 까지의 숫자와 수학 연산 기호를 이용하여 만들 수 있는 실수를 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital number)라 하자. 다음 수들은 모두 유사 완전 온자리 수들의 예이다.

\[ 352 + 4^{90} - 71 \cdot 86, \quad \frac{- 32 \cdot (5^4 - 19)}{\sqrt{78} + (90)!}, \quad 52^{3^{-4}} \cdot \frac{26}{7} + \sqrt[8]{10} \] 

위 예를 보면 알겠지만, 유사 완전 온자리 수들로 굉장히 많은 실수들을 표현할 수 있다는 사실을 알 수 있다. 그러면 자연상수 $e$ 또한 유사 완전 온자리 수로 표현할 수 있을까? 만약 정확하게 표현해 내는 것이 불가능 하다면 얼마나 가깝게 근사할 수 있으까?

위 문제에 대하여 $2004$년 Richard Sabey는 자연상수 $e$를 유사 완전 온자리 수를 이용하여 매우 정확하게 근사할 수 있다는 사실을 증명하였다. 그는 $e$를 아래와 같이 근사하였는데,

\[ e \approx 0 + \left( 1 + 9^{-4^{7 \times 6}} \right)^{3^{2^{85}}} \]

이 근사는 $e$와 소숫점 아래 $18457734525360901453873570$자리 까지 정확하다고 한다. Sabey가 어떻게 이러한 근사를 발견할 수 있었는지 생각해 보자. 사실 원리를 알고 보면 매우 간단하다. 

우선 자연상수 $e$는 다음과 같이 극한을 이용해서 정의할 수 있다.

\[ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \]

따라서 $n$이 충분히 크다면 $e$를 원하는 만큼 근사할 수 있을 것이다. 이제 $N = 3^{2^{85}}$라 정의하자. 그러면 거듭제곱의 성질에 의하여 $N$을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ N = 3^{2^{85}} = 9^{2^{84}} = 9^{4^{42}} = 9^{4^{7 \times 6}} \]

따라서 Sabey가 제시한 유사 완전 온자리 수를 $N$을 이용하여 다시 표현하면,

\[ e \approx 0 + \left( 1 + 9^{-4^{7 \times 6}} \right)^{3^{2^{85}}} = \left( 1 + \frac{1}{N} \right)^{N} \]

임을 알 수 있다. 이제 $N$이 매우 큰 수이므로 $e$를 굉장히 잘 근사할 것이라는 사실을 알 수 있다.