비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)

미적분학에서 주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$의 수렴여부를 판단할 때, 비판정법(ratio test) 또는 근판정법(root test)을 흔히 사용한다. 즉, 주어진 수열의 비 $\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ 또는 $n$제곱근 $\sqrt[n]{\abs{a_{n}}}$의 극한이 존재할 때, 이 극한의 크기에 따라서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단 하게 된다. 하지만 굳이 수열의 비나 $n$제곱근의 극한이 존재하지 않더라도 상극한(limit superior) 또는 하극한(limit inferior)에 대하여 비판정법이나 근판정법을 이용할 수 있는데, 자세한 판정법의 내용은 다음과 같다.

정리. 비판정법(ratio test)

주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$에 대하여, 두 실수 $R,\, r \in \R$을

\[ R := \limsup_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}, \qquad r := \liminf_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \]

과 같이 정의하자. 이 때, $R<1$이면 주어진 급수는 수렴하고 $r>1$이면 주어진 급수는 발산한다.

정리. 근판정법(root test)

주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$에 대하여, 실수 $R \in \R$을

\[ R := \limsup_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} \]

과 같이 정의하자. 이 때, $R<1$이면 주어진 급수는 수렴하고 $R>1$이면 주어진 급수는 발산한다.

비판정법에서는 상극한과 하극한을 모두 사용했지만, 근판정법에서는 상극한만을 사용한 것에 주의하자. 만약 근판정법에서 하극한을 사용하면 잘못된 결과를 가져올 수 있다. 물론 $r > 1$이면, $R \geq r > 1$이기 때문에  주어진 급수가 발산함을 알 수 있지만, $r<1$인 경우에도 발산하는 급수가 존재한다. 다음의 예를 살펴보자.

예제. 수열 $(a_{n})$을 $a_{2k} = 2^{-k}$, $a_{2k+1} = 2^{k}$으로 정의하자. 즉,

\[ (a_{n}) = (1,\, \tfrac{1}{2},\, 2,\, \tfrac{1}{4},\, 4,\, \tfrac{1}{8},\, 8,\, \ldots) \]

따라서 급수 $\sum_{n} a_{n}$은 발산함을 간단히 확인할 수 있다. 하지만

\[ r := \liminf_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} = \lim_{k \to \infty} 2^{-\frac{k}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

가 되어 $r<1$를 얻는다. 즉, $r<1$인 경우에도 발산하는 급수가 존재한다. 하지만 상극한을 이용하면

\[ R := \limsup_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} = \lim_{k \to \infty} 2^{\frac{k}{2k+1}} = \sqrt{2} \]

따라서 $R>1$이므로, 근판정법에 의해서 주어진 급수는 발산한다.

비판정법과 근판정법 사이의 관계

일반적으로 근판정법이 비판정법보다 더욱 강력한 판정법임이 알려져 있다. 다시 말해, 어떤 급수의 수렴 여부를 비판정법을 이용하여 판정이 가능하다면 이 급수의 수렴 여부는 근판정법을 이용하여 판정할 수 있다. 또한 비판정법으로는 수렴 여부를 판단할 수 없지만, 근판정법으로는 수렴 여부를 판단할 수 있는 급수가 존재한다.

정리. 

주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

\[ \liminf_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \leq \liminf_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} \leq \limsup_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} \leq \limsup_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \]

증명. 위 부등식 중에서 두번째 부등식은 자명하고, 첫번째 부등식의 증명은 세번째 부등식의 증명과 유사하므로 세번째 부등식만 증명하도록 하자. 즉, 주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$에 대하여

\[ \limsup_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} \leq \limsup_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \]

임을 보이도록 하자.

우선 각각의 $n \in \N$에 대하여, $\sqrt[n]{\abs{a_{n}}} = \exp(\frac{\ln(\abs{a_{n}})}{n})$이 성립한다. 그러면 슈톨츠-체사로 정리(Stolz-Cezaro theorem)에 의해

\[ \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} \ln \left( \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \right) &= \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln(\abs{a_{n+1}}) - \ln(\abs{a_{n}})}{(n+1) - n} \\[5px] &\geq \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln(\abs{a_{n}})}{n} \end{align*} \]

따라서 위 부등식의 양변에 지수함수를 취하면,

\[ \limsup_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \geq \limsup_{n \to \infty} \exp \left( \frac{\ln(\abs{a_{n}})}{n} \right) = \limsup_{n \to \infty} {\textstyle \sqrt[n]{\abs{a_{n}}}} \]

를 얻는다.

이제 위에서 다뤘던 예제의 급수를 다시 한번 살펴보자. 이 급수는 위 예제에서 볼 수 있듯이 근판정법을 통해서 발산함을 확인할 수 있었지만, 비판정법을 이용하면 급수의 수렴 여부를 판단할 수 없다.

예제. 수열 $(a_{n})$을 $a_{2k} = 2^{-k}$, $a_{2k+1} = 2^{k}$으로 정의하자. 앞서 살펴보았듯이 급수 $\sum_{n} a_{n}$은 발산한다. 하지만 비판정법에서의 상극한과 하극한을 각각 구해보면,

\[ R := \limsup_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} = \lim_{k \to \infty} \frac{2^{k}}{2^{-k}} = \lim_{k \to \infty} 2^{2k} = \infty \]

\[ r := \liminf_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} = \lim_{k \to \infty} \frac{2^{-k}}{2^{k}} = \lim_{k \to \infty} 2^{-2k} = 0 \]

을 얻는다. 즉 $R \geq 1$이고 $r \leq 1$이므로 어느 경우에도 주어진 급수의 수렴 여부를 판단할 수 없다.