적분값이 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} h(t) \,dt = 1$인 함수 $h$에 대하여 다음 적분값을 계산하여라.
$2x^2 - 6xy + 5y^2 = (x-y)^2 + (x-2y)^2$와 같이 정리되므로 다음과 같이 치환을 하자.
\[ u = x-y, \;\; v = x-2y \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2u-v, \;\; y = u-v \]
위 치환에 대한 야코비안(Jacobian)은
\[ \abs{\frac{\partial (x,\,y)}{\partial(u,\, v)}} = \abs{\det \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right)} = \abs{\det \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)} = \abs{-1} = 1 \]
이므로 주어진 적분을 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[ \begin{align*} \iint_{\R^2} h(2x^2 - 6xy + 5y^2) \,dxdy &= \iint_{\R^2} h(u^2 + v^2) \abs{\frac{\partial (x,\,y)}{\partial(u,\, v)}} \,dudv \\[5px] &= \iint_{\R^2} h(u^2 + v^2) \,dudv \end{align*} \]
이제 위 적분에 다시한번 $u = r\cos(\theta)$, $v = r\sin(\theta)$로 극좌표 변환을 하고 $t = r^2$으로 치환적분을 하면 다음과 같이 주어진 적분값을 계산할 수 있다.
\[ \definecolor{darkblue}{RGB}{12, 39, 76} \begin{align*} \iint_{\R^2} h(u^2 + v^2) \,dudv &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} h(r^2) r \,dr d\theta \\[5px] &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} h(t) \,dt d\theta \\[5px] &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \,d\theta \\[5px] &= \pi \tag*{$\textcolor{darkblue}{\blacksquare}$} \end{align*} \]
