Problems and Solutions #041

Problem #041

적분값이 ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(t)dt=1}$인 함수 $h$에 대하여 다음 적분값을 계산하여라.

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}h(2x^2-6xy+5y^2)dxdy$$

$2x^2-6xy+5y^2=(x-y{)}^2+(x-2y{)}^2$와 같이 정리되므로 다음과 같이 치환을 하자.

$$u=x-y,v=x-2y⟺x=2u-v,y=u-v$$

위 치환에 대한 야코비안(Jacobian)은 

$$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\left|det\left(\begin{array}{rr}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)\right|=\left|det\left(\begin{array}{rr}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\right|=\left|-1\right|=1$$

이므로 주어진 적분을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}h(2x^2-6xy+5y^2)dxdy& ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}h(u^2+v^2)\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv\\ & ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}h(u^2+v^2)dudv\end{array}$$

이제 위 적분에 다시한번 $u=r\cos (\theta )$, $v=r\sin (\theta )$로 극좌표 변환을 하고 $t=r^2$으로 치환적분을 하면 다음과 같이 주어진 적분값을 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}h(u^2+v^2)dudv& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(r^2)rdrd\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(t)dtd\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}d\theta \\ ◼& & =\pi \end{array}$$