외적(cross product)과 오른손 법칙(right hand rule)

$\R^3$의 두 벡터 ${\bf u} = (u_1,\, u_2,\, u_3)$와 ${\bf v} = (v_1,\, v_2,\, v_3)$에 대하여 ${\bf u}$와 ${\bf v}$의 외적(cross product) ${\bf u} \times {\bf v}$를 다음과 같이 정의한다.

\[ {\bf u} \times {\bf v} = (u_2v_3 - u_3v_2,\, u_3v_1 - u_1v_3,\, u_1v_2 - u_2v_1) \]

하지만 이 식을 단순히 외우기는 쉽지 않기 때문에 보통은 선형대수학의 행렬식을 이용하여 다음과 같이 외적을 정의하고는 한다.

\[ {\bf u} \times {\bf v} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| \]

행렬식을 이용한 외적의 표현의 장점은 단순히 외적을 외우기 쉽게 도와줄 뿐만 아니라 외적에 대한 여러가지 기본 성질들을 훨씬 간단히 증명할 수 있게 도와준다는데 있다. 간단하게 몇가지 외적의 성질을 증명해 보자.

정리 1.

만약 ${\bf u}$와 ${\bf v}$가 한 직선 위에 있으면, ${\bf u} \times {\bf v} = {\bf 0}$이다.

증명. ${\bf u}$와 ${\bf v}$가 한 직선 위에 있으면, 적당한 실수 $k \in \R$에 대하여, ${\bf v} = k{\bf u}$라 할 수 있다. 즉, 행렬식의 한 행이 다른 행의 상수배가 되므로 행렬식의 성질에 의하여 행렬식이 $0$이 되어야 한다. 따라서 ${\bf u} \times {\bf v} = {\bf 0}$이다.

정리 2.

한 직선 위에 있는 않는 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 대하여, ${\bf u} \times {\bf v}$는 언제나 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 수직이다.

증명. ${\bf u} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = 0$이고 ${\bf v} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = 0$임을 보이면 충분하다. 이제 세 벡터 ${\bf x}$, ${\bf u}$, ${\bf v}$의 삼중곱(triple product) ${\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v})$을 행렬식을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ {\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = \left| \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| \]

위 식에 ${\bf x} = {\bf u}$와 ${\bf x} = {\bf v}$를 각각 대입하면, 행렬식의 성질에 의해 두 경우 모두 $0$이 됨을 확인할 수 있다. 따라서 정리가 성립한다.

오른손 법칙(right hand rule)

일반적으로 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 모두 수직인 방향는 두개가 존재한다. 하지만 ${\bf u} \times {\bf v}$는 이 두개의 방향 중에 오른손 법칙에 의해 언제나 한쪽 방향을 향한다는 사실이 알려져 있다. 여기서 오른손 법칙(right hand rule)이란 "오른손의 검지의 방향이 ${\bf u}$의 방향을 나타내고 중지의 방향이 ${\bf v}$의 방향을 나타내도록 하면, 엄지가 가르키는 방향이 외적 ${\bf u} \times {\bf v}$의 방향이다"를 말한다.

사실 외적 ${\bf u} \times {\bf v}$의 방향이 언제나 오른손 법칙을 만족하는 이유는 애초에 외적의 방향이 오른손 법칙을 만족하도록 정의했기 때문이다. 하지만 왜 외적이 오른손 법칙을 만족해야만 하는지는 외적의 정의로부터는 간단히 이해하기는 힘들다. 그래서 이번 글에서는 외적이 오른손 법칙을 언제나 만족함을 증명해 보고자 한다.

이 증명을 위해서는 먼저 몇 가지 정의가 필요하다. 3차원 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$는 평면을 유일하게 결정하고, 이 평면은 3차원 공간을 둘로 나눈다. 이제 이 두 반공간 중에서, 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 오른손 법칙을 적용했을 때 엄지를 포함하는 쪽의 반공간을 오른쪽 반공간이라 하자.또한 오른쪽 반공간을 $R({\bf u},\, {\bf v})$로 나타내도록 하자.

마지막으로 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 대하여 오른손 법칙을 만족하는 벡터를 $n({\bf u},\, {\bf v})$로 나타내도록 하자. 이제 어떤 벡터 ${\bf x}$가 ${\bf x} \in R({\bf u},\, {\bf v})$를 만족한다면, ${\bf x}$와 $n({\bf u},\, {\bf v})$가 이루는 각이 예각이여야만 함을 알 수 있다. 아래 그림을 참고하자.

따라서 오른쪽 반공간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\[ R({\bf u},\, {\bf v}) = \set{{\bf x} \in \R^3}{{\bf x} \cdot n({\bf u},\, {\bf v}) > 0} \]

오른쪽 반공간의 정의를 살펴보면, 어떤 벡터 ${\bf x}$가 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 대하여 오른손 법칙을 만족하면 ${\bf x} \in R({\bf u},\, {\bf v})$지만, 그 역은 성립하지 않음을 알 수 있다. 예를 들어 ${\bf u} = (1,\,0,\,0)$, ${\bf v} = (0,\,1,\,0)$라 하면 $xy$-평면 위쪽 반공간이 오른쪽 공간, $xy$-평면 아래쪽 반공간이 왼쪽 반공간이 되는 식이다. 또한 벡터 ${\bf x} = (0,\,0,\,1)$은 ${\bf x} \in R({\bf u},\, {\bf v})$면서 동시에 오른손 법칙도 만족하지만, 벡터 ${\bf y} = (1,\,1,\,1)$는 ${\bf y} \in R({\bf u},\, {\bf v})$지만 오른손 법칙은 만족하지 않는다.

이제 다음의 보조정리를 살펴보자.

보조정리.

세 벡터 ${\bf x}$, ${\bf u}$, ${\bf v}$에 대하여 ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v})$를 만족한다고 하자. 그러면 세 벡터 중에 하나를 상수배하여 다른 벡터에 더해주어도 여전히 위 관계가 성립한다. 즉, 임의의 실수 $\alpha$에 대하여

${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v} + \alpha{\bf u})$ ${\bf x} \in R({\bf u} + \alpha{\bf v},\, {\bf v})$ ${\bf x} + \alpha{\bf u} \in R({\bf u},\, {\bf v})$

${\bf x} + \alpha{\bf v} \in R({\bf u},\,{\bf v})$ ${\bf x} \in R({\bf u} + \alpha{\bf x},\,{\bf v})$ ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v} + \alpha{\bf x})$

가 성립한다.

증명. 우선 ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v})$를 가정하였으므로, $n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x} > 0$가 성립한다.

먼저 (1)을 증명해 보자.

위 그림에서 확인 할 수 있듯이, ${\bf v}$가 ${\bf v} + \alpha{\bf u}$로 변환 되더라도 검지와 중지의 위치관계는 변하지 않음을 알 수 있다. 따라서 $n({\bf u},\, {\bf v}) = n({\bf u},\, {\bf v} + \alpha{\bf u})$이므로, 

\[ n({\bf u},\, {\bf v} + \alpha{\bf u}) \cdot {\bf x} = n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x} > 0 \]

이고 따라서 (1)이 성립함을 알 수 있다. 마찬가지 방법으로 (2) 또한 성립한다.

또한 $n({\bf u},\, {\bf v})$는 ${\bf u}$와 ${\bf u}$에 각각 수직이므로, 임의의 실수 $\alpha,\, \beta \in \R$에 대하여 

\[ \begin{align*} n({\bf u},\,{\bf v}) \cdot ({\bf x} + \alpha{\bf u} + \beta{\bf v}) &= n({ \bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x} + \alpha \underbrace{n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf u}}_{=0} + \beta \underbrace{n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf v}}_{=0} \\[5px] &= n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x} \\[5px] &> 0 \end{align*} \]

임을 알 수 있다. 따라서 (3)과 (4) 또한 성립한다.

마지막으로 (5)를 증명해 보자. 그러면 (6) 또한 같은 방법으로 증명할 수 있다. 세 벡터 $n({\bf x} + \alpha{\bf u},\, {\bf v})$, $n({\bf u},\, {\bf v})$, $n({\bf x},\, {\bf v})$가 모두 벡터 ${\bf v}$에 수직이므로, 이 세 벡터들은 모두 한평면에 존재한다. 따라서 적당한 함수 $f,\,g$를 이용하여

\[ n({\bf x} + \alpha{\bf u},\, {\bf v}) = f(\alpha) n({\bf u},\, {\bf v}) + g(\alpha) n({\bf x},\, {\bf v}) \]

와 같이 나타낼 수 있다. 그럼 우선 $f(0) = 1$, $g(0) = 0$이 성립한다. 또한 오른손 전체를 아주 약간 움직이면 엄지가 가르키는 방향 또한 아주 약간 움직이게 되므로 $f$와 $g$ 모두 연속함수임을 알 수 있다. 이제 어떤 실수 $\alpha$에 대하여 $f(\alpha) < 0$이 성립한다고 가정해보자. 그러면 $f(0) = 1 > 0$이고 $f(\alpha) < 0$이므로, 중간값 정리(intermediate value theorem)에 의해 $f(\beta) = 0$을 만족하는 실수 $\beta$가 존재한다. 따라서

\[ \begin{align*} n({\bf x} + \beta{\bf u},\, {\bf v}) &= f(\beta) n({\bf u},\, {\bf v}) + g(\beta) n({\bf x},\, {\bf v}) \\[5px] &= g(\beta) n({\bf x},\, {\bf v}) \end{align*} \]

를 얻는다. 그러므로 벡터 $n({\bf x} + \beta{\bf u},\, {\bf v})$는 동시에 세 벡터 ${\bf x} + \beta{\bf u}$, ${\bf x}$, ${\bf v}$에 수직이여야 한다. 하지만 이는 모순이므로 모든 실수 $\alpha$에 대하여 $f(\alpha) > 0$을 만족해야 함을 알 수 있다. 그러므로

\[ \begin{align*} n({\bf x} + \alpha{\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x} &= \big[ f(\alpha) n({\bf u},\, {\bf v}) + g(\alpha) n({\bf x},\, {\bf v}) \big] \cdot {\bf x} \\[5px] &= \underbrace{f(\alpha)}_{>0} \big[ \underbrace{n({\bf u},\, {\bf v}) \cdot {\bf x}}_{>0} \big] + g(\alpha) \big[ \underbrace{n({\bf x},\, {\bf v}) \cdot {\bf x}}_{=0} \big] \\ &> 0 \end{align*} \]

따라서 (5)가 성립한다. 마찬가지 방법으로 (6) 또한 성립한다.

위 보조정리를 이용하여 다음 정리를 증명해 보자. 먼저 세 벡터 ${\bf x}$, ${\bf u}$, ${\bf v}$의 삼중곱(triple product) ${\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v})$의 행렬식을 이용한 표현

\[ {\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = \left| \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| \]

을 상기하자. 다음 정리는 ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v})$와 삼중곱 ${\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v})$ 사이의 관계를 보여준다.

정리 3.

세 벡터 ${\bf x}$, ${\bf u}$, ${\bf v}$에 대하여, ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v})$일 필요충분조건은 삼중곱 ${\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) > 0$인 것이다.

증명. 보조정리에 의해서 세 벡터 중에 하나를 상수배하여 다른 벡터에 더해주어도 여전히 위 관계가 성립함을 알고 있다. 또한 행렬의 한 행을 상수배하여 다른 행에 더해주어도 행렬식의 값은 변하지 않는다. 이제 행렬의 한 행을 상수배하여 다른 행에 더해주는 과정을 적당히 반복하면 주어진 행렬을 다음과 같이 단위행렬로 변환할 수 있고 이 두 행렬의 행렬식은 같다.

\[ {\bf x} \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = \left| \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array} \right| = a{\bf i} \cdot (b{\bf j} \times c{\bf k}) \]

또한 ${\bf x} \in R({\bf u},\,{\bf v})$과 $a{\bf i} \in R(b{\bf j},\,c{\bf k})$는 보조정리에 의해 서로 동치이다. 마지막으로 실제로 오른손 법칙을 이용해서 몇 가지 경우를 나누어 살펴보면 $a{\bf i} \in R(b{\bf j},\,c{\bf k})$일 필요충분조건은 $a{\bf i} \cdot (b{\bf j} \times c{\bf k}) > 0$임을 확인할 수 있다. 따라서 주어진 정리가 성립한다.

마지막으로 정리 2와 정리 3을 종합하면 우리가 원하는 최종 결과를 얻는다.

정리 4.

한 직선 위에 있지 않는 두 벡터 ${\bf u}$, ${\bf v}$의 외적 ${\bf u} \times {\bf v}$의 방향은 언제나 오른손 법칙을 따른다.

증명. 먼저 세 벡터 ${\bf u} \times {\bf v}$, ${\bf u}$, ${\bf v}$의 삼중곱은

\[ ({\bf u} \times {\bf v}) \cdot ({\bf u} \times {\bf v}) = \norm{{\bf u} \times {\bf v}}^2 > 0 \]

으로 언제나 양수이다. 따라서 정리 3에 의해서 ${\bf u} \times {\bf v} \in R({\bf u},\,{\bf v})$임을 알 수 있다. 그리고 정리 2에 의해서 ${\bf u} \times {\bf v}$는 두 벡터 ${\bf u}$와 ${\bf v}$에 각각 수직이므로 ${\bf u} \times {\bf v}$의 방향은 오른손 법칙을 따른다.