코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)

코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)은 급수 수렴 여부를 판정하는 방법 중의 하나로써, 주어진 급수 $\sum a_n$가 양항 급수이고 급수의 각 항이 감소수열일 때, 사용할 수 있는 판정법이다.

정리. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)

$(a_n)$이 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq 0$, $a_n \geq a_{n+1}$을 만족하는 실수열이라 하자. 그러면 두 급수

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} \]

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

증명. 먼저 수열 $(a_n)$이 감소 수열 이므로, 임의의 $m \in \N$에 대하여 다음의 부등식

\[ \sum_{n=1}^{2^{m+1}-1} a_n \leq \sum_{n=0}^{m} 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^{2^m} a_n \]

을 어렵지 않게 보일 수 있다. 또한 $(a_n)$이 양항 수열이므로 위 급수들은 모두 양항 급수이고, 따라서 비교 판정법(comparison test)에 의해 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

위 판정법을 쓸 때 주의해야 할 점은, 주어진 급수가 양항 급수인 동시에 급수의 각 항이 감소수열이여야만 한다는 사실인데, 만약 주어진 급수가 이 두 조건을 만족하지 않으면 다음의 반례에서 볼 수 있듯이 코시 응집 판정법이 성립하지 않음을 확인할 수 있다.

반례 1. 다음과 같이 수열 $(a_n)$을 정의하자.

\[ a_n=\begin{cases} \frac{1}{n}, \quad & \text{if } n \in \{2^k \ ; \ k \in \N \} \\ 0, \quad & \text{else} \end{cases} \]

이제 $\sum a_n$와 $\sum 2^n a_{2^n}$의 값을 각각 계산해보자. 먼저 $\sum a_n$의 부분합을 보면

\[ \sum_{n=1}^{m} a_n = \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2 m \rfloor} \frac{1}{2^k} < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1 \]

을 얻는다. 부분합이 증가 수열이면서 위로 유계이므로 수렴하고, 따라서 $\sum a_n$도 수렴함을 알 수 있다. 하지만 임의의 $m \in \N$에 대하여

\[ \sum_{n=1}^{m} 2^n a_{2^n} = \sum_{n=1}^{m} 1 = m \]

이므로 $\sum 2^n a_{2^n}$은 발산한다.

반례 2. 이번에는 다음과 같이 수열 $(b_n)$을 정의하자.

\[ b_n=\begin{cases} 0, \quad & \text{if } n \in \{2^k \ ; \ k \in \N \} \\ \frac{1}{n}, \quad & \text{else} \end{cases} \]

먼저 $\sum b_n$의 부분합을 생각해 보자.

\[ \sum_{n=1}^{m} b_n = \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n} - \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2 m \rfloor} \frac{1}{2^k} > \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n} - 1 \]

위 부등식의 우변은 조화급수를 포함하므로 $m \to \infty$일 때 발산하고, 따라서 부분합 또한 발산한다. 즉, $\sum a_n$은 발산하는 급수임을 알 수 있다. 반면 임의의 $n \in \N$에 대하여 $b_{2^n} = 0$이므로 $\sum 2^n a_{2^n} = 0$으로 수렴함을 알 수 있다.