산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)에 대하여

산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)

임의의 두 양의 실수 $x,y>0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $x$와 $y$의 산술평균(arithmetic mean)과 기하평균(geometric mean)을 각각 아래와 같이 정의한다.

$$A(x,y)=\frac{x+y}{2},G(x,y)=\sqrt{xy}$$

이제 위 두가지 평균을 이용하여 아래와 같이 두 수열 $⟨a_n⟩$과 $⟨g_n⟩$을 반복적으로 정의해 보자.

$$\begin{array}{}(\ast )& \{\begin{array}{rl}{a}_{n+1}& =\frac{a_n+g_n}{2},\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}\end{array}\{\begin{array}{rl}{a}_1& =\frac{x+y}{2},\\ g_1& =\sqrt{xy}\end{array}\end{array}$$

위와 같이 정의한 두 수열 $⟨a_n⟩$과 $⟨g_n⟩$은 수렴할까? 이 사실은 다음과 같이 간단하게 확인할 수 있다.

우선 일반성을 잃지 않고 $x\ge y>0$이라 가정하자. 그러면 우선 산술기하평균 부등식에 의해서 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $a_n\ge g_n$임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 아래 부등식이 성립한다.

$$x\ge a_n\ge a_{n+1}\ge g_{n+1}\ge g_n\ge y$$

이제 수열 $⟨a_n⟩$은 감소하고 $y$에 의해 아래로 유계이므로 수렴한다. 마찬가지 방법으로 수열 $⟨g_n⟩$은 증가하고 $x$에 의해 위로 유계이므로 수렴함을 알 수 있다. 이제 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

$$a_{n+1}-g_{n+1}<a_{n+1}-g_n=\frac{1}{2}(a_n-g_n)<\cdots <\frac{1}{2^n}(x-y)$$

가 성립한다. 따라서 두 수열 $⟨a_n⟩$과 $⟨g_n⟩$은 같은 값으로 수렴함을 알 수 있다.

위 관찰을 바탕으로 두 양의 실수 $x,y>0$의 산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)을 아래와 같이 정의한다.

정의 1. 산술-기하 평균(Arithmetic-geometric mean)

두 양의 실수 $x,y>0$에 대하여 수열 $⟨a_n⟩$과 $⟨g_n⟩$을 $(\ast )$와 같이 정의한다. 이 때 이 두 수열의 공통 극한값을 $x$와 $y$의 산술-기하 평균(arithmetic-geometric mean)으로 정의하고 기호로 $AG(x,y)$와 같이 나타낸다.

산술-기하 평균에 대한 몇 가지 사실을 열거하면 다음과 같다.

1. (두 수열의 극한을 통해 정의한) 산술-기하 평균에 관한 내용은 라그랑주(Lagrange)의 논문에 최초로 기술되어 있고, 후에 이 평균에 대한 여러가지 성질들이 가우스(Gauss)에 의해 밝혀졌다고 한다.
2. 두 양의 실수 $x\ge y>0$의 산술-기하 평균은 언제나 산술평균과 기하평균 사이의 값을 같는다. 즉, $$x\ge A(x,y)\ge AG(x,y)\ge G(x,y)\ge y$$ 가 성립한다. 또한 $x=y$인 경우를 제외하면, 위 부등식들의 등호가 성립하지 않는다.
3. 산술-기하 평균은 음이 아닌 임의의 실수에 대하여 (차수가 1인) 동차성(homogeneity)을 갖는다. 즉, 임의의 $r\ge 0$에 대하여 다음이 성립한다. $$AG(rx,ry)=rAG(x,y)$$
4. 가우스 상수(Gauss's constant)는 $1$과 $\sqrt{2}$의 산술-기하 평균의 역수로 정의한다. 즉, $$G:=\frac{1}{AG(1,\sqrt{2})}=0.8346268\cdots$$ 가우스 상수 $G$는 베타함수(beta function), 감마함수(gamma function), 타원 적분(elliptic integral) 등 수학의 여러 분야에서 등장하는 수학 상수라고 한다.
5. 산술-기하 평균을 정의한 방법과 유사하게 기하-조화 평균(geometric-harmonic mean) $GH(x,y)$를 정의할 수 있다. 이 평균값은 기하평균과 조화평균 사이의 값을 가지며 산술-기하 평균과는 다음과 같은 관계를 가진다. $$HG(x,y)=\frac{1}{AG(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}$$ 물론 산술-조화 평균(arithmetic-harmonic mean)도 정의 가능하지만 이 값은 기하평균과 같다.

제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)

임의의 양의 실수 $x,y>0$에 대하여 아래와 같이 적분을 정의하자.

$$I(x,y)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}$$

위 적분에 대하여 다음의 사실들이 성립함을 어렵지 않게 확인할 수 있다.

1. $I(x,y)=I(y,x)$.
2. $I(rx,ry)=\frac{1}{r}I(x,y)$. 특히, $I(x,y)=\frac{1}{x}I(1,\frac{y}{x})$.
3. $I(x,x)=\frac{\pi }{2x}$.
4. $x>y$라 가정하면, $\frac{\pi }{2x}\le I(x,y)\le \frac{\pi }{2y}$.

또한 이 적분 $I(x,y)$는 제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)과 밀접한 관련이 있다. 제1종 완전 타원 적분이란 아래와 같은 형태의 적분을 말한다.

$$K(k)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$$

이제 주어진 $0\le k\le 1$에 대하여 $k$의 켤레(conjugate) $k^{\prime }$을 $k^2+k^{\prime 2}=1$을 만족하는 실수로 정의하자. 그러면 $I(x,y)=\frac{1}{x}K((\frac{y}{x}{)}^{\prime })$임을 간단히 보일 수 있다.

$$\begin{array}{rl}I(x,y)& ={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\\ & ={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2(1-{\sin }^2\theta )+y^2{\sin }^2\theta }}\\ & ={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2-(x^2-y^2){\sin }^2\theta }}\\ & ={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{x\sqrt{1-(1-(\frac{y}{x}{)}^2){\sin }^2\theta }}=\frac{1}{x}K((\frac{y}{x}{)}^{\prime })\end{array}$$

정리 2.

임의의 $x,y>0$에 대하여,

$$I(x,y)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{\sqrt{t^2+x^2}\sqrt{t^2+y^2}}$$

증명. $t=y\tan \theta$를 이용하여 치환적분을 하면 간단히 위 등식을 얻는다.

산술-기하 평균과 타원 적분 사이의 관계

산술-기하 평균은 다음과 같이 타원 적분을 이용한 적분 형태로 구할 수 있음이 알려져 있다.

정리 3.

임의의 양의 실수 $x,y>0$에 대하여 다음 식이 성립한다.

$$AG(x,y)=\frac{\pi }{2I(x,y)}$$

증명. 먼저 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $I(a_{n+1},g_{n+1})=I(a_n,g_n)$이 성립함을 보일 것이다. 먼저 위의 정리 2에 의하여

$$\begin{array}{rl}I(a_{n+1},g_{n+1})& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{\sqrt{t^2+a_{n+1}^2}\sqrt{t^2+g_{n+1}^2}}\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{\sqrt{t^2+a_{n+1}^2}\sqrt{t^2+g_{n+1}^2}}\end{array}$$

이제 치환 $2t=s-\frac{a_n{g}_n}{s}$를 이용하여 치환적분을 해보자. 그러면 치환된 적분의 적분구간은 $(0,\mathrm{\infty })$이고 $2dt=(1+\frac{a_n{g}_n}{s^2})ds$를 얻는다. 또한

$$4(t^2+a_{n+1}^2)={(s-\frac{a_n{g}_n}{s})}^2+4{\left(\frac{a_n+g_n}{2}\right)}^2=s^2+\frac{a_n^2{g}_n^2}{s^2}+a_n^2+g_n^2=\frac{1}{s^2}(s^2+a_n^2)(s^2+g_n^2)$$

또한

$$4(t^2+g_{n+1}^2)={(s-\frac{a_n{g}_n}{s})}^2+4(\sqrt{a_n{g}_n}{)}^2=s^2-2a_n{g}_n+\frac{a_n^2{g}_n^2}{s^2}={(s+\frac{a_n{g}_n}{s})}^2$$

위 사실을 모두 종합하여 치환적분을 하면

$$\begin{array}{rl}I(a_{n+1},g_{n+1})& =\frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{\sqrt{t^2+a_{n+1}^2}\sqrt{t^2+g_{n+1}^2}}\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2s}{\sqrt{s^2+a_n^2}\sqrt{s^2+g_n^2}}\cdot \frac{2}{s+\frac{a_n{g}_n}{s}}\cdot \frac{1}{2}(1+\frac{a_n{g}_n}{s^2})ds\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{ds}{\sqrt{s^2+a_{n+1}^2}\sqrt{s^2+g_{n+1}^2}}\\ & =I(a_n,g_n)\end{array}$$

따라서 $I(a_{n+1},g_{n+1})=I(a_n,g_n)$이 성립함을 알 수 있다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $I(x,y)=I(a_n,g_n)$임을 보일 수 있다. 따라서

$$I(x,y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}I(a_n,g_n)=I(AG(x,y),AG(x,y))=\frac{\pi }{2AG(x,y)}$$

위 식을 $AG(x,y)$에 관하여 정리하면 원하는 결과를 얻는다.

따름정리 4.

임의의 양의 실수 $x\ge y>0$에 대하여 다음 식이 성립한다.

$$AG(x,y)=\frac{\pi (x+y)}{4K(\frac{x-y}{x+y})}$$

증명. 위 정리 3의 증명 과정에서 $I(x,y)=I(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy})$가 성립함을 확인하였다. 따라서

$$I(x,y)=I(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy})=\frac{2}{x+y}I(1,\frac{2\sqrt{xy}}{x+y})=\frac{2}{x+y}K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)$$

를 얻는다. 이제 위 등식을 정리 3의 등식에 대입하면 원하는 결과를 얻는다.

따라서 제1종 완전 타원 적분의 값을 산술-기하 평균의 값을 통해서 구할 수 있다. 이 때, 산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 따름 정리 4를 이용하여 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다.