대학생들의 꿈의 정리

예전에 "초등학생들의 꿈"이라는 주제의 글을 퍼온적이 있다.

• http://jjycjnmath.tistory.com/307

위 글에서 "대학생들의 꿈"이라 불리는 정리를 간단하게 언급한 적이 있는데 이번 글에서는 이에 대해서 좀 더 자세히 설명하고자 한다.

대학교 1학년생의 꿈(freshman's dream)

중학교 수학시간에 곱셈공식 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$을 배우고 난 이후로, 매번 이 공식을 잘못 기억해서 $(x+y)^2 = x^2 + y^2$으로 계산하여 문제를 틀린 기억이 한번쯤은 있을 것이다. 또한 대학교 1학년 과정에서 미적분학을 배우는 학생들이 가장 많이 하는 계산 실수 중에 하나가 $(x+y)^2 = x^2 + y^2$라고 계산하는 것 이라고한다.

일반적으로 임의의 실수 $x$, $y$와 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $(x+y)^n = x^n + y^n$이 성립한다면 얼마나 좋을까? 하지만 아쉽게도 $n=1$이 아닌 이상 이 등식이 성립하지 않음을 잘 알고 있다. 만약 이 등식이 성립하게 하는 어떠한 대수체계가 존재한다면 어떨까? 이제 "대학교 1학년생의 꿈"을 이뤄줄 대수체계에 대해서 알아보자.

정리 1. 대학교 1학년생의 꿈(freshman's dream)

$p$가 소수라고 하자. 그러면 표수(characteristic)가 $p$인 가환환(commutative ring)에서는 임의의 실수 $x$, $y$에 대하여 다음의 수식이 성립한다.

\[ (x+y)^p = x^p + y^p \]

증명. 좌변 $(x+y)^p$를 전개하면, 이항정리(binomial theorem)에 의해 임의의 $0 \leq k \leq p$에 대하여 각 항 $x^{k}y^{p-k}$의 계수가 다음과 같은 이항계수(binomial coefficient)로 나타난다.

\[ {p \choose k} = \frac{p!}{k!(p-k)!} \tag{1.1} \]

여기서 이항계수 $(1.1)$의 분자는 $p!$이므로 $p$로 나누어 떨어진다. 반면 $0 < k < p$인 경우, 분모의 $k!$과 $(p-k)!$은 둘 다 $p$보다 작은 수들의 곱의 형태이다. 이 때 $p$가 소수이므로, 분모는 절대 $p$로 나누어 떨어지지 않는다는 사실을 알 수 있다. 따라서 $0 < k < p$인 경우, 이항계수 $(1.1))$은 언제나 $p$의 배수(인 양의 정수)임을 알 수 있다. 따라서 표수가 $p$인 환에서는 이항계수 $(1.1)$의 값이 언제나 $0$이 된다. 마지막으로 $k=0$ 또는 $k=1$인 경우 이항계수 $(1.1)$의 값이 $1$임은 자명하다. 따라서 이 사실을 종합하면 주어진 정리가 성립함을 알 수 있다.

대학교 2학년생의 꿈(sophomore's dream)

위에서 식 $(x+y)^n = x^n + y^n$이 "꿈"이라고 불렸던 가장 큰 이유중 하나는 이 등식이 성립한다고 믿기에는 너무나 간결하고 아름답기 때문이다. (물론 일반적으로 이 등식이 참이 아니기 때문이기도 하다.) 지금부터 설명할 "대학교 2학년생의 꿈" 또한 사실이라고 믿기에는 식이 너무나 간결하고 아름답다. 

미적분학을 배우면서 수많은 함수를 미분하고 적분하지만 $x^{-x}$ 또는 $x^x$와 같은 형태의 함수를 적분해본 기억은 아마도 없을 것이다. 왜냐하면 이 함수들은 기본적으로 닫힌 형태(closed form)의 역도함수(antiderivative)가 존재하지 않기 때문이다. 하지만 이 함수들의 구간 $[0, 1]$ 사이에서의 정적분 값은 다음과 같이 놀라운 방법으로 계산이 가능하다.

정리 2. 대학교 2학년생의 꿈(sophomore's dream)

다음의 식이 성립한다.

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x} \,dx &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^k} \approx 1.29129 \cdots \\[5px] \int_{0}^{1} x^x \,dx &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^k} \approx 0.78343 \cdots \end{align*}

증명. 위 식의 첫번째 경우만 증명하도록 하자. 그러면 두번째 식 또한 거의 같은 방법으로 증명이 가능하다. 먼저 임의의 $x>0$에 대하여 $x = e^{\ln x}$로 나타낼 수 있으므로, $x^{-x} = e^{- x \ln x}$임을 알 수 있다. 또한 $e^x$의 급수 전개를 이용하면,

\[ \frac{1}{x^x} = e^{- x \ln x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^k \ln ^k x}{k!} \tag{2.1} \]

위 급수는 균등수렴(uniform convergent)하므로 식 $(2.1)$의 양변을 구간 $[0,\,1]$에서 적분하면,

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x} \,dx &= \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^k \ln^k x}{k!} \right) \,dx \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_{0}^{1} (-x)^k \ln^k x \,dx \tag{2.2} \end{align*}

를 얻는다. 이제 식 $(2.2)$의 적분값을 구하기 위하여 $u = - \ln x$로 치환하면,

\begin{align*} \int_{0}^{1} (-x)^k \ln^k x \,dx &= \int_{\infty}^{0} (-e^{-u})^k (-u)^k (-e^{-u}) \,du \\[5px] &= \int_{0}^{\infty} e^{-u(k+1)} u^k \,du \tag{2.3} \end{align*}

를 얻는다. 식 $(2.3)$의 피적분함수의 형태를 보면 감마 함수(gamma function)를 이끌어 낼 수 있을 것 같다. 이제 식 $(2.3)$의 결과를 식 $(2.2)$에 대입하고 식을 적당히 변형한 뒤 $t = u(k+1)$의 치환을 이용해 보자. 그러면 다음을 얻는다.

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x} \,dx &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_{0}^{\infty} e^{-u(k+1)} u^k \,du \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{1}{(k+1)^k} \int_{0}^{\infty} e^{-u(k+1)} (u(k+1))^k \,du \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{1}{(k+1)^{k+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^k \,dt \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{1}{(k+1)^{k+1}} \Gamma(k+1) \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^{k+1}} \\[5px] &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^k} \end{align*}

따라서 주어진 정리가 성립함을 알 수 있다.

"대학교 3학년생의 꿈" 또는 "대학교 4학년생의 꿈"이라 불릴만한 정리는 어떤게 있을까?