대학생들의 꿈의 정리

예전에 "초등학생들의 꿈"이라는 주제의 글을 퍼온적이 있다.

• http://jjycjnmath.tistory.com/307

위 글에서 "대학생들의 꿈"이라 불리는 정리를 간단하게 언급한 적이 있는데 이번 글에서는 이에 대해서 좀 더 자세히 설명하고자 한다.

대학교 1학년생의 꿈(freshman's dream)

중학교 수학시간에 곱셈공식 $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$을 배우고 난 이후로, 매번 이 공식을 잘못 기억해서 $(x+y{)}^2=x^2+y^2$으로 계산하여 문제를 틀린 기억이 한번쯤은 있을 것이다. 또한 대학교 1학년 과정에서 미적분학을 배우는 학생들이 가장 많이 하는 계산 실수 중에 하나가 $(x+y{)}^2=x^2+y^2$라고 계산하는 것 이라고한다.

일반적으로 임의의 실수 $x$, $y$와 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $(x+y{)}^n=x^n+y^n$이 성립한다면 얼마나 좋을까? 하지만 아쉽게도 $n=1$이 아닌 이상 이 등식이 성립하지 않음을 잘 알고 있다. 만약 이 등식이 성립하게 하는 어떠한 대수체계가 존재한다면 어떨까? 이제 "대학교 1학년생의 꿈"을 이뤄줄 대수체계에 대해서 알아보자.

정리 1. 대학교 1학년생의 꿈(freshman's dream)

$p$가 소수라고 하자. 그러면 표수(characteristic)가 $p$인 가환환(commutative ring)에서는 임의의 실수 $x$, $y$에 대하여 다음의 수식이 성립한다.

$$(x+y{)}^p=x^p+y^p$$

증명. 좌변 $(x+y{)}^p$를 전개하면, 이항정리(binomial theorem)에 의해 임의의 $0\le k\le p$에 대하여 각 항 $x^k{y}^{p-k}$의 계수가 다음과 같은 이항계수(binomial coefficient)로 나타난다.

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})=\frac{p!}{k!(p-k)!}\end{array}$$

여기서 이항계수 $(1.1)$의 분자는 $p!$이므로 $p$로 나누어 떨어진다. 반면 $0<k<p$인 경우, 분모의 $k!$과 $(p-k)!$은 둘 다 $p$보다 작은 수들의 곱의 형태이다. 이 때 $p$가 소수이므로, 분모는 절대 $p$로 나누어 떨어지지 않는다는 사실을 알 수 있다. 따라서 $0<k<p$인 경우, 이항계수 $(1.1))$은 언제나 $p$의 배수(인 양의 정수)임을 알 수 있다. 따라서 표수가 $p$인 환에서는 이항계수 $(1.1)$의 값이 언제나 $0$이 된다. 마지막으로 $k=0$ 또는 $k=1$인 경우 이항계수 $(1.1)$의 값이 $1$임은 자명하다. 따라서 이 사실을 종합하면 주어진 정리가 성립함을 알 수 있다.

대학교 2학년생의 꿈(sophomore's dream)

위에서 식 $(x+y{)}^n=x^n+y^n$이 "꿈"이라고 불렸던 가장 큰 이유중 하나는 이 등식이 성립한다고 믿기에는 너무나 간결하고 아름답기 때문이다. (물론 일반적으로 이 등식이 참이 아니기 때문이기도 하다.) 지금부터 설명할 "대학교 2학년생의 꿈" 또한 사실이라고 믿기에는 식이 너무나 간결하고 아름답다. 

미적분학을 배우면서 수많은 함수를 미분하고 적분하지만 $x^{-x}$ 또는 $x^x$와 같은 형태의 함수를 적분해본 기억은 아마도 없을 것이다. 왜냐하면 이 함수들은 기본적으로 닫힌 형태(closed form)의 역도함수(antiderivative)가 존재하지 않기 때문이다. 하지만 이 함수들의 구간 $[0,1]$ 사이에서의 정적분 값은 다음과 같이 놀라운 방법으로 계산이 가능하다.

정리 2. 대학교 2학년생의 꿈(sophomore's dream)

다음의 식이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{1}{x^x}dx& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^k}\approx 1.29129\cdots \\ {\int }_0^1{x}^{x}dx& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k^k}\approx 0.78343\cdots \end{array}$$

증명. 위 식의 첫번째 경우만 증명하도록 하자. 그러면 두번째 식 또한 거의 같은 방법으로 증명이 가능하다. 먼저 임의의 $x>0$에 대하여 $x=e^{\ln x}$로 나타낼 수 있으므로, $x^{-x}=e^{-x\ln x}$임을 알 수 있다. 또한 $e^x$의 급수 전개를 이용하면,

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& \frac{1}{x^x}=e^{-x\ln x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^k{\ln }^{k}x}{k!}\end{array}$$

위 급수는 균등수렴(uniform convergent)하므로 식 $(2.1)$의 양변을 구간 $[0,1]$에서 적분하면,

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{1}{x^x}dx& ={\int }_0^1\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x{)}^k{\ln }^{k}x}{k!}\right)dx\\ \text{(2.2)}& & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\int }_0^1(-x{)}^k{\ln }^{k}xdx\end{array}$$

를 얻는다. 이제 식 $(2.2)$의 적분값을 구하기 위하여 $u=-\ln x$로 치환하면,

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(-x{)}^k{\ln }^{k}xdx& ={\int }_{\mathrm{\infty }}^0(-e^{-u}{)}^k(-u{)}^k(-e^{-u})du\\ \text{(2.3)}& & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u(k+1)}{u}^{k}du\end{array}$$

를 얻는다. 식 $(2.3)$의 피적분함수의 형태를 보면 감마 함수(gamma function)를 이끌어 낼 수 있을 것 같다. 이제 식 $(2.3)$의 결과를 식 $(2.2)$에 대입하고 식을 적당히 변형한 뒤 $t=u(k+1)$의 치환을 이용해 보자. 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{1}{x^x}dx& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u(k+1)}{u}^{k}du\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{1}{(k+1{)}^k}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u(k+1)}(u(k+1){)}^{k}du\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{1}{(k+1{)}^{k+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{k}dt\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{1}{(k+1{)}^{k+1}}\mathrm{\Gamma }(k+1)\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+1{)}^{k+1}}\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^k}\end{array}$$

따라서 주어진 정리가 성립함을 알 수 있다.

"대학교 3학년생의 꿈" 또는 "대학교 4학년생의 꿈"이라 불릴만한 정리는 어떤게 있을까?