Problems and Solutions #006

Problem #006

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 아래의 적분값을 구하여라.

$${\int }_0^1{((1-x^n{)}^{1/n}-x)}^2\mathrm{d}x$$

먼저 양의 정수 $n$을 고정하고, 아래와 같이 함수 $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$를 정의하자.

$$f_n(x)=(1-x^n{)}^{1/n}$$

이 함수는 구간 $[0,1]$에서 연속(continuous)이고 전단사(bijection)이므로 역함수가 존재한다. 이 역함수를 $f^{-1}$라 하자. 그러면

$$y=(1-x^n{)}^{1/n}⟹y^n=1-x^n⟹x^n=1-y^n⟹x=(1-y^n{)}^{1/n}$$

라는 사실로부터 $f^{-1}\equiv f$임을 알 수 있다. 또한 $f(0)=1$, $f(1)=0$이 성립한다.

이제 구간 함수 $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$으로 둘러 싸인 영역을 $y$ 축으로 회전하여 생긴 회전체의 부피를 생각해 보자. 이 회전체의 부피는 disc method와 shell method를 이용하여 서로 다른 두가지 방법으로 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}(\ast )& \pi {\int }_0^1[f(x){]}^2\mathrm{d}x=2\pi {\int }_0^{1}y{f}^{-1}(y)\mathrm{d}y=2\pi {\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

따라서 주어진 적분은 $(\ast )$에 의하여,

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{((1-x^n{)}^{1/n}-x)}^2\mathrm{d}x& ={\int }_0^1{(f(x)-x)}^2\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1[f(x){]}^2\mathrm{d}x-2{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$

따라서 주어진 적분값은 $n$의 값에 관계 없이 항상 $\frac{1}{3}$을 갖는다.