Problems and Solutions #003

Problem #003

다음의 극한값을 구하여라.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})}(1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdot \cdots \cdot n^n{)}^{\frac{1}{n^2}}$$

주어진 극한값을 $L$이라 하자. 양변에 자연로그를 취하면

$$\begin{array}{rl}\ln L& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[-\frac{n+1}{2n}\ln n+\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n\ln k^k]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[-\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\ln n+\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\ln k]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\ln \left(\frac{k}{n}\right)]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[(\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln \left(\frac{k}{n}\right))\frac{1}{n}\right]\\ & ={\int }_0^{1}x\ln x\mathrm{d}x\end{array}$$

이제 주어진 적분을 구하기 위하여 부분적분(integration by parts)을 이용하면

$${\int }_0^{1}x\ln x\mathrm{d}x={\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}|}_0^1=-\frac{1}{4}$$

따라서 $L=e^{-1/4}$를 얻는다.