다음의 극한값을 구하여라.
\[ \lim_{n \to \infty} n^{ -\frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \, \right)} (1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot \cdots \cdot n^n)^{\frac{1}{n^2}} \]
주어진 극한값을 $L$이라 하자. 양변에 자연로그를 취하면
\[ \begin{aligned} \ln L &= \lim_{n \to \infty} \left[ - \frac{n+1}{2n} \, \ln n + \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \ln k^k \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[ - \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \ln n + \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \ln k \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \ln \left( \frac{k}{n} \right) \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[ \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \, \ln \left( \frac{k}{n} \right) \right) \frac{1}{n} \, \right] \\ &= \int_{0}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x \end{aligned} \]
이제 주어진 적분을 구하기 위하여 부분적분(integration by parts)을 이용하면
\[ \int_{0}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x = \left. \frac{x^2}{2} \, \ln x - \frac{x^2}{4} \, \right|_{0}^{1} = -\frac{1}{4} \]
따라서 $L = e^{-1/4}$를 얻는다.
