조던 부등식 (Jordan Inequality)

조던 부등식(Jordan Inequality)은 프랑스의 수학자 조던(Camille Jordan)에 의해 증명된 부등식으로, 사인(sine) 함수와 두 일차 함수에 관한 다음의 부등식을 말한다. 

[조던 부등식(Jordan Inequality)] 모든 $x \in [0,\, 1/2]$에 대하여, 

$$ \frac{2}{\pi}x \leq \sin(x) \leq x. $$ 

위 부등식의 증명은 사인 함수의 오목성(concavity)을 이용하면 간단하게 증명이 된다. 

증명. 함수 $f(x) = \sin(x)$를 정의하자. 모든 $x \in [0,\, 1/2]$에 대하여, $f''(x) = -\sin(x) \leq 0$이므로, $f$는 오목 함수임을 알 수 있다. 일반적으로, 어떤 함수 $f$가 구간 $[a,\, b]$에서 오목함수이면 다음 부등식이 성립한다. 

$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \leq f(x) - f(a) \leq f'(a)(x-a). $$ 

위의 첫번째 부등식은 함수 $f$와 두점 $(a,\, f(a))$와 $(b,\, f(b))$를 잇는 할선(secant line)과의 관계에서, 두번째 부등식은 함수 $f$와 점 $(a,\, f(a))$을 지나는 $f$의 접선(tangent line)과의 관계에서 간단히 증명할 수 있다. 

따라서, $a = 0$, $b = \pi/2$라 하면 주어진 부등식이 증명된다.