다양한 적분 계산 방법 (3) - Integration by using Inverse Function

적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는 여러가지 다양한 적분 계산법에 대해서 알아보려고 한다.

3. 역함수를 이용하는 방법 (Integration by using Inverse Function)

이 적분 방법은 부분적분(integration by parts)를 응용한 방법으로서, 주어진 피적분 함수의 역함수가 상대적으로 적분이 쉬울 때 사용할 수 있는 방법이다. 또한 이 방법을 이용하면, 역삼각함수나 역쌍곡함수등의 적분 또한 매우 간단하게 구할 수 있다. 우선 다음을 살펴보자.

$$\begin{array}{rl}\int f(x)dx& =xf(x)-\int x{f}^{\prime }(x)dx\\ & =xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f^{\prime }(x)dx=xf(x)-G(f(x))\end{array}$$

이때 $G(u)=\int f^{-1}(u)du$이다.

위 공식을 적용할 수 있는 간단한 예로 ${\sin }^{-1}(x)$의 부정적분을 생각해 보자. 먼저 $G(u)$를 구해보면,

$$G(u)=\int f^{-1}(u)du=\int \sin (u)du=-\cos (u)+C$$

그러므로 위 공식에 의하며 간단하게 부정적분을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{-1}(x)dx& =xf(x)-G(f(x))\\ & =x{\sin }^{-1}(x)-x\cos ({\sin }^{-1}(x))+C\\ & =x{\sin }^{-1}(x)-x\sqrt{1-x^2}+C\end{array}$$

좀 더 심화 된 예를 생각해 보자.

$$\int {\cos }^{-1}(x^2-1)dx,1\le x\le \sqrt{2}$$

위 함수를 일반적인 방법으로는 적분이 불가능 하므로, 위 공식을 적용하기 위하여 우선 피적분함수 $f(x)={\cos }^{-1}(x^2-1)$의 역함수를 구해보자.

$$\begin{array}{rl}y={\cos }^{-1}(x^2-1)& \iff \cos (y)=x^2-1\\ & \iff x^2=\cos (y)+1=2{\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)\\ & \iff x=\sqrt{2}\cos \left(\frac{y}{2}\right)\end{array}$$

따라서 $f^{-1}(x)=\sqrt{(}2)\cos \left(\frac{y}{2}\right)$임을 알 수 있고, 이를 이용하여 $G(u)$를 구해보면,

$$G(u)=\int f^{-1}(u)du=\sqrt{2}\int \cos \left(\frac{u}{2}\right)du=2\sqrt{2}\sin \left(\frac{u}{2}\right)+C$$

따라서 최종 부정적분을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^{-1}(x^2-1)dx& =x{\cos }^{-1}(x^2-1)-2\sqrt{2}\sin \left(\frac{{\cos }^{-1}(x^2-1)}{2}\right)+C\\ & =x{\cos }^{-1}(x^2-1)-2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1-\cos ({\cos }^{-1}(x^2-1))}{2}}+C\\ & =x{\cos }^{-1}(x^2-1)-2\sqrt{2-x^2}+C\end{array}$$

정적분 역시 같은 방법으로 구할 수 있다. 

$${\int }_a^{b}f(x)dx={xf(x)|}_a^b-{\int }_{f(a)}^{f(b)}{f}^{-1}(u)du$$

예를 들어, 다음 정적분을 생각해 보자.

$${\int }_0^{1/2}\sqrt{\frac{x}{1-x}}dx$$

위 적분은 일반적인 적분 방법으로는 계산이 쉽지 않다. 하지만 $f(x)=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$로 두고 역함수를 구해 보면 $f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$이고, 이는 쉽게 적분이 가능함을 알 수 있다. 따라서,

$${\int }_{f(0)}^{f(1/2)}{f}^{-1}(u)du={\int }_0^1\frac{u^2}{1+u^2}du={\int }_0^{1}1-\frac{1}{1+u^2}du={u-{\tan }^{-1}(u)|}_0^1=1-\frac{\pi }{4}$$

이고 주어진 정적분은 다음과 같다.

$${\int }_0^{1/2}\sqrt{\frac{x}{1-x}}dx={xf(x)|}_0^{1/2}-(1-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}-(1-\frac{\pi }{4})=\frac{\pi -2}{4}$$