다양한 적분 계산 방법 (3) - Integration by using Inverse Function

적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는 여러가지 다양한 적분 계산법에 대해서 알아보려고 한다.

3. 역함수를 이용하는 방법 (Integration by using Inverse Function)

이 적분 방법은 부분적분(integration by parts)를 응용한 방법으로서, 주어진 피적분 함수의 역함수가 상대적으로 적분이 쉬울 때 사용할 수 있는 방법이다. 또한 이 방법을 이용하면, 역삼각함수나 역쌍곡함수등의 적분 또한 매우 간단하게 구할 수 있다. 우선 다음을 살펴보자.

\[ \begin{aligned} \int f(x) \,dx & = xf(x) - \int xf'(x) \,dx \\ & = xf(x) - \int f^{-1}(f(x))f'(x) \,dx = xf(x) - G(f(x)) \end{aligned} \]

이때 \(G(u) = \int f^{-1}(u) \,du\)이다.

위 공식을 적용할 수 있는 간단한 예로 \(\sin^{-1}(x)\)의 부정적분을 생각해 보자. 먼저 \(G(u)\)를 구해보면,

\[ G(u) = \int f^{-1}(u) \,du = \int \sin(u) \,du = -\cos(u) + C \]

그러므로 위 공식에 의하며 간단하게 부정적분을 구할 수 있다.

\[ \begin{aligned} \int\sin^{-1}(x) \,dx & = xf(x) - G(f(x)) \\ & = x\sin^{-1}(x) - x\cos\left(\sin^{-1}(x) \right) + C \\ & = x\sin^{-1}(x) - x\sqrt{1-x^2} + C \end{aligned}\]

좀 더 심화 된 예를 생각해 보자.

\[ \int \cos^{-1}(x^2 - 1) \,dx, \qquad 1 \leq x \leq \sqrt{2} \]

위 함수를 일반적인 방법으로는 적분이 불가능 하므로, 위 공식을 적용하기 위하여 우선 피적분함수 \(f(x) = \cos^{-1}(x^2-1)\)의 역함수를 구해보자.

\[ \begin{aligned} y = \cos^{-1}(x^2 - 1) & \Leftrightarrow \cos(y) = x^2-1 \\ & \Leftrightarrow x^2 = \cos(y)+1 = 2 \cos^2\left(\frac{y}{2}\right) \\ & \Leftrightarrow x = \sqrt{2}\cos\left(\frac{y}{2}\right) \end{aligned} \]

따라서 \(f^{-1}(x) = \sqrt(2)\cos\left(\frac{y}{2}\right)\)임을 알 수 있고, 이를 이용하여 \(G(u)\)를 구해보면,

\[ G(u) = \int f^{-1}(u) \,du = \sqrt{2} \int \cos\left(\frac{u}{2}\right) \,du = 2 \sqrt{2} \sin\left(\frac{u}{2}\right) + C \]

따라서 최종 부정적분을 구할 수 있다.

\[ \begin{aligned} \int \cos^{-1}(x^2 - 1) \,dx & = x \cos^{-1}(x^2 - 1) - 2 \sqrt{2} \sin\left(\frac{\cos^{-1}(x^2 - 1)}{2}\right) + C \\ & = x \cos^{-1}(x^2 - 1) - 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{1-\cos\left( \cos^{-1}(x^2 - 1) \right)}{2}} + C \\ & = x \cos^{-1}(x^2 - 1) - 2 \sqrt{2-x^2} + C \end{aligned} \]

정적분 역시 같은 방법으로 구할 수 있다. 

\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left. xf(x) \right|_{\,a}^{\,b}- \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(u) \,du \]

예를 들어, 다음 정적분을 생각해 보자.

\[ \int_{0}^{1/2} \sqrt{\frac{x}{1-x}} \,dx \]

위 적분은 일반적인 적분 방법으로는 계산이 쉽지 않다. 하지만 \(f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}}\)로 두고 역함수를 구해 보면 \(f'(x) = \frac{x^2}{1+x^2}\)이고, 이는 쉽게 적분이 가능함을 알 수 있다. 따라서,

\[ \int_{f(0)}^{f(1/2)} f^{-1}(u) \,du = \int_{0}^{1} \frac{u^2}{1+u^2} \,du = \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{1+u^2} \,du = \left. u - \tan^{-1}(u) \right|_{\,0}^{\,1} = 1 - \frac{\pi}{4} \]

이고 주어진 정적분은 다음과 같다.

\[ \int_{0}^{1/2} \sqrt{\frac{x}{1-x}} \,dx = \left. xf(x) \right|_{0}^{1/2} - \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi - 2}{4} \]