주요 적분공식 정리 (2)

미적분학(Calculus)에서 주어진 함수의 부정적분(indefinite integrals)을 구할 때, 치환적분, 부분적분 등의 기본적인 방법에 더해 삼각치환(substitution by trigonometries)라는 방법이 많이 쓰인다. 이는 주어진 피적분 함수(integrant)의 변수를 적당한 삼각함수의 형태로 치환하는 방법으로, 특정한 형태의 제곱근을 포함한 함수의 적분에 많이 쓰인다. 이번 포스트에서는 삼각치환을 이용하여 계산한 부정적분 공식들에 대해 정리해 보고자 한다.

1. 피적분함수가 $ \sqrt{a^2 + x^2} (a>0) $을 포함하는 경우

    - $ x = a \tan\theta $로 치환한 후에 정리한다.

• $ \displaystyle \int \sqrt{a^2 + x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C $
• $ \displaystyle \int (a^2 + x^2)^{3/2} \;dx = \frac{1}{4}x(a^2 + x^2)^{3/2} + \frac{3a^2}{8}x\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{3a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{a^2 + x^2}\right) + C $
• $ \displaystyle \int x \sqrt{a^2 + x^2}\;dx = \frac{1}{3}(a^2 + x^2)^{3/2} + C $
• $ \displaystyle \int x^2 \sqrt{a^2 + x^2}\;dx = \frac{1}{4} x (a^2 + x^2)^{3/2} -\frac{a^2}{8} x\sqrt{a^2 + x^2} - \frac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{a^2 + x^2}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{x}\;dx = \sqrt{a^2 + x^2}-a\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2 + x^2}}{x}\right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{x^2}\;dx = -\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{x} + \ln\left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \ln\left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2 + x^2}} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x\;dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \sqrt{a^2 + x^2} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}-\frac{a^2}{2}\ln\left( x + \sqrt{a^2 + x^2} \right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{a^2 + x^2}} = -\frac{1}{a}\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2 + x^2}}{x}\right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{a^2 + x^2}} = -\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a^2 x} + C $

2. 피적분함수가 $ \sqrt{a^2 - x^2} (a>0) $을 포함하는 경우

    - $ x = a \sin\theta $로 치환한 후에 정리한다.

• $ \displaystyle \int \sqrt{a^2 - x^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{x} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int (a^2 - x^2)^{3/2} \;dx = \frac{1}{4}x(a^2 - x^2)^{3/2} + \frac{3a^2}{8}x\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{3a^4}{8}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int x \sqrt{a^2 - x^2}\;dx = -\frac{1}{3}(a^2 - x^2)^{3/2} + C $
• $ \displaystyle \int x^2 \sqrt{a^2 - x^2}\;dx = -\frac{1}{4} x (a^2 - x^2)^{3/2} + \frac{a^2}{8} x\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^4}{8} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}\;dx = \sqrt{a^2 - x^2} - a\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2 - x^2}}{x}\right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2}\;dx = -\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{x} - \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{(a^2 - x^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2 - x^2}} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x\;dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = -\sqrt{a^2 - x^2} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = -\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{a^2 - x^2}} = -\frac{1}{a}\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2 - x^2}}{x}\right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{a^2 - x^2}} = -\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a^2 x} + C $

3. 피적분함수가 $ \sqrt{x^2 - a^2} (a>0) $을 포함하는 경우

    - $ x = a \sec\theta $로 치환한 후에 정리한다.

• $ \displaystyle \int \sqrt{x^2 - a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int (x^2 - a^2)^{3/2} \;dx = \frac{1}{4}x(x^2 - a^2)^{3/2} + \frac{3a^2}{8}x\sqrt{x^2 - a^2} + \frac{3a^4}{8} \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int x \sqrt{x^2 - a^2}\;dx = \frac{1}{3}(x^2 - a^2)^{3/2} + C $
• $ \displaystyle \int x^2 \sqrt{x^2 - a^2}\;dx = \frac{1}{4} x (x^2 - a^2)^{3/2} + \frac{a^2}{8} x\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^4}{8} \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x}\;dx = \sqrt{x^2 - a^2} - a \sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x^2}\;dx = -\frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} + \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{(x^2 - a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{x^2 - a^2}} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x\;dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \sqrt{x^2 - a^2} + C $
• $ \displaystyle \int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2 - a^2}} = -\frac{1}{a} \sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $
• $ \displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a^2 x} + C $