주요 적분공식 정리 (1)

적분(Integration)은 미분(Differentiation)과 함께 미적분학(Calculus)에서 가장 중요한 두가지 연산 중 하나이다. 하지만, 적분의 경우 미분해 비해 상대적으로 계산이 까다롭고, 심지어는 어떤 함수의 부정적분(Indefinite Integral)은 초등적인 함수로 표현이 불가능한 경우가 많다. 그래서 보통 함수의 부정적분을 구할 때, 치환적분(Substitution) 또는 부분적분(Integration by parts)등을 사용하여 주어진 함수를 부정적분을 구하기 쉬운 함수로 변형한 뒤에 아래의 적분공식을 사용하여 최종적인 값을 구하곤 한다. 따라서 이번 포스트에서는 기본적인 적분(Integral) 공식을 정리해 보았다.

1. 다항함수(Polynomials), 유리함수(Rational Functions)

• $ \displaystyle \int k\,dx = kx + C $

• $ \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)} $

• $ \displaystyle \int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)} $

• $ \displaystyle \int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C $

• $ \displaystyle \int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C $

• $ \displaystyle \int\frac{1}{1 + x^{2}} \, dx= \arctan x + C $

2. 지수함수(Exponential Functions)

• $ \displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C $

• $ \displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $

3. 로그함수(Logarithmic Functions)

• $ \displaystyle \int \ln x\,dx = x \ln x - x + C $

• $ \displaystyle \int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C $

4. 삼각함수(Trigonometric Functions)

• $ \displaystyle \int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C $

• $ \displaystyle \int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C $

• $ \displaystyle \int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C $

• $ \displaystyle \int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C $

• $ \displaystyle \int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C $

• $ \displaystyle \int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C $

• $ \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $

• $ \displaystyle \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $

• $ \displaystyle \int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C $

• $ \displaystyle \int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C $

• $ \displaystyle \int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C $

• $ \displaystyle \int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C $

• $ \displaystyle \int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C $

5. 역삼각함수(Inverse Trinogometric Functions)

• $ \displaystyle \int {\sin}^{-1}x \, dx = x {\sin}^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \le 1 $

• $ \displaystyle \int {\cos}^{-1}x \, dx = x {\cos}^{-1}x - \sqrt{1 - x^2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \le 1 $

• $ \displaystyle \int {\tan}^{-1}x \, dx = x {\tan}^{-1}x - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \qquad \text{ for all real } x $

• $ \displaystyle \int {\sec}^{-1}x \, dx = x {\sec}^{-1}x - \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \ge 1 $

• $ \displaystyle \int {\csc}^{-1}x \, dx = x {\csc}^{-1}x + \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert \ge 1 $

• $ \displaystyle \int {\cot}^{-1}x \, dx = x {\cot}^{-1}x + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \qquad \text{ for all real } x $

6. 쌍곡함수(Hyperbolic Functions)

• $ \displaystyle \int \sinh x \, dx = \cosh x + C $

• $ \displaystyle \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $

• $ \displaystyle \int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C $

• $ \displaystyle \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C $

• $ \displaystyle \int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $

• $ \displaystyle \int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $

7. 역쌍곡함수(Inverse Hyperbolic Functions)

• $ \displaystyle \int {\sinh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\sinh}^{-1} \, x - \sqrt{ x^2 + 1 } + C , \qquad \text{ for all real } x $

• $ \displaystyle \int {\cosh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\cosh}^{-1} \, x - \sqrt{ x^2 - 1 } + C , \qquad \text{ for } x \ge 1 $

• $ \displaystyle \int {\tanh}^{-1} \, x \, dx = x \, {\tanh}^{-1} \, x + \frac{\ln\left(\,1-x^2\right)}{2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert < 1 $

• $ \displaystyle \int {\operatorname{sech}}^{-1} \, x \, dx = x \, {\operatorname{sech}}^{-1} \, x + {\sin}^{-1} x + C , \qquad \text{ for } 0 < x \le 1 $

• $ \displaystyle \int {\operatorname{csch}}^{-1} \, x \, dx = x \, {\operatorname{csch}}^{-1} \, x + \vert {\sinh}^{-1} \, x \vert + C , \qquad \text{ for } x \neq 0 $

• $ \displaystyle \int {\coth}^{-1} \, x \, dx = x \, {\coth}^{-1} \, x + \frac{\ln\left(x^2-1\right)}{2} + C , \qquad \text{ for } \vert x \vert > 1 $