다양한 적분 계산 방법 (2) - Feynman Integration

적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는 여러가지 다양한 적분 계산법에 대해서 알아보려고 한다.

2. 새로운 변수를 도입하는 방법 (Feynman Integration) 

페인만 적분 방법이란, 특정 조건 하에서 주어진 피적분 함수의 부정적분의 편도함수와 편도함수의 부정적분의 값이 같음을 이용하여 주어진 적분을 해결하는 방법이다. 먼저 아래의 정리를 살펴보자.

Let \(f : [a,b] \times Y \rightarrow \mathbb{R}\) be a function, where \([a,b]\) is a closed interval, and \(Y\) is a compact set. Suppose that both \(f(x,y)\) and \(\partial f(x,y)/\partial x\) are continuous in the variables \(x\) and \(y\) jointly. Then \(\int_Y f(x,y) dy\) exists as a continuously defferentiable function of \(x\) on \([a,b]\), with derivative \[ \frac{d}{dx} \int_{Y} f(x,y) \,dy = \int_{Y} \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \,dy \]

 

이 때, \(Y\)가 compact라는 조건은 다소 강한 조건이기 때문에 \(Y\)가 \((-\infty, a)\), \((a, \infty)\), 또는 \((-\infty, \infty)\) 등으로 주어지면 위의 정리를 이용할 수 없다. 하지만, 측도론(measure theory)에서 \(Y\)가 measure space이고 \(f\)가 \(Y\)에서 Lebesgue-integrable이면서 \(\partial f(x,y)/\partial x\)가 bounded이면 위의 정리가 성립함이 알려져 있다. (Dominated Convergence Theorem의 따름 정리로서 성립한다.)

이제 위의 정리를 실제로 이용해서 다음의 적분값을 구해보자. 

\[ \int_{0}^{1} \frac{x^2 - 1}{\ln x} \,dx \]

위 정리를 적용하기 위해서는 두개의 변수가 필요하기 때문에, 지수 \(2\)를 변수로 취급하여 다음의 함수를 정의해 보자.

\[ I(y) := \int_{0}^{1} \frac{x^y - 1}{\ln x} \,dx \]

주어진 적분값은 \(I(2)\)의 값과 같고, \(y>-1\)인 경우에 정리를 적용하기 위한 조건을 모두 만족함을 알 수 있다. 이제 양변을 \(y\)에 대하여 미분하면,

\[ I'(y) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{1} \frac{x^y - 1}{\ln x} \,dx = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^y - 1}{\ln x}\right) dx = \int_{0}^{1} x^y \,dx = \left. \frac{x^{y+1}}{y+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{y+1} \]

이제 다시 위 식의 양변을 \(y\)에 관하여 적분하면,

\[ I(y) = \ln(y+1) + C \]

마지막으로 적분상수 \(C\)의 값을 구하기 위해 \(I(0) = 0\)임을 이용하면, \(C=0\)임을 알 수 있다. 따라서 최종 적분 값은

\[ I(2) = \ln(2+1) = \ln(3) \]

또 다른 예를 살펴보자.

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx \]

위의 예제와 유사하게 \(y\)를 포함한 적당한 함수를 이용하여, 주어진 정리의 가정을 모두 만족하도록 만들어 주어야 한다.

\[ I(y) := \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-yx} \,dx \]

위와 같이 함수를 정의해 보자. 이때, \(|\sin(x)| \leq x\)임을 이용하면,

\[ \left| \frac{\sin(x)}{x} e^{-yx} \right| \leq \left| \frac{\sin(x)}{x} \right| e^{-yx} \leq e^{-yx}\]

이고 따라서

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-yx} \,dx = \left. \frac{e^{-yx}}{-y}\, \right|_{\,0}^{\,\infty} = \frac{1}{y} < \infty \]

가 되어 위 함수는 정리의 가정을 모두 만족함을 알 수 있다. 따라서

\[ \begin{aligned} I'(y) & = \frac{d}{dy} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-yx} \,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\sin(x)}{x}e^{-yx} \right) dx \\ & = \int_{0}^{\infty} -\sin(x)e^{-yx} \,dx = \left. \frac{e^{-yx}(\cos(x) + y\cos(x))}{1 + y^2}\, \right|_{\,0}^{\,\infty} \\ & = -\frac{1}{1 + y^2} \end{aligned} \]

이제 다시 위 식의 양변을 \(y\)에 대해 적분하면,

\[ I(y) = -\tan^{-1}(y) + C \]

적분상수 \(C\)를 구하기 위하여 극한 \(y \rightarrow \infty\)를 취하면

\[ I(\infty) = \lim_{y \rightarrow \infty} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-yx} \,dx = \int_{0}^{\infty} \left( \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-yx} \right) dx = 0 \]

이고, \(I(\infty)=0 \Leftrightarrow C = \tan^{-1}(\infty) = \pi/2\)임을 알 수 있다. 최종 적분 값은 \(I(0)\)값과 같으므로,

\[ I(0) = -\tan^{-1}(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]