다양한 적분 계산 방법 (1) - Series Method

적분의 계산은 미분에 비해 그 계산이 매우 복잡한 경우가 많다. 따라서 적분을 계산할 때, 치환적분, 부분적분, 삼각치환등의 다양한 적분 풀이법이 존재하는 데, 이번 포스트에서는 미적분학을 배울 때 따로 배우지 않는 여러가지 다양한 적분 계산법에 대해서 알아보려고 한다.

1. 급수를 이용한 방법 (Series Method)  

적분을 계산할 때, 피적분 함수의 급수 전개를 알 고 있다면, 이를 이용해서 주어진 적분의 값을 간단히 계산할 수 있는 경우가 있다. 다음과 같은 적분을 생각해 보자.

\[ \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x} \,dx. \]

위의 적분은 기본적인 적분 계산법이 적용되지 않는다. 하지만 로그함수의 급수 전개인

\[ \ln(1-x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \]

을 이용하면, 위의 적분은 다음과 같이 계산된다.

\[ \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x} \,dx = - \int_{0}^{1} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \right) dx = - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1}}{n} \,dx \right) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2}{6}. \]

이때, 두번째 등식에서 적분기호와 급수기호의 치환은 아래의 정리에 의해 성립한다.

[Tonelli's Theorem]

Let \(f : [a,b] \rightarrow  \mathbb{R}\) be a function. Suppose \(f_n(x) \geq 0\) for all \(n\). Then the following holds. 

\[ \int_{a}^{b} \left( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx \right) \]

또 다른 예제를 한 번 살펴보자.

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \,dx. \]

이 때, 주어진 피적분 함수의 분모를 보면 기하급수의 전개를 이용할 수 있을 것 같다. 기하급수 \(1/(1-t)\)의 수렴 범위는 \(|t|<1\)임을 이용하면,

\[ \frac{1}{e^x - 1} = e^{-x}\frac{1}{1-e^{-x}} = e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}. \]

위의 급수 전개를 이용하여 주어진 적분의 계산을 마무리 해보자.

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \,dx = \int_{0}^{\infty} \left( x^3 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-nx} \,dx \right). \]

여기서 우변의 적분을 \(u=nx\)로 두고 치환하면,

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-nx} \right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^4} \int_{0}^{\infty} u^3 e^{-u} \,du \right) = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \right) \left( \int_{0}^{\infty} u^3 e^{-u} \,du \right). \]

따라서 위 적분을 두 부분으로 나누어 계산할 수 있다. 아래의 사실을 이용하면,

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}, \qquad \int_{0}^{\infty} u^k e^{-u} \,du = k! \]

최종 적분 값은 다음과 같다.

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \,dx = \left( \frac{\pi^4}{90} \right) \left( 3! \right) = \frac{\pi^4}{15}. \]