해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)는 두 수열 $a_n$과 $b_n$의 비가 수렴할 충분조건을
제시하는 정리이다. 이는 체사로 평균(Cesaro mean)의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈 정리(L'hospital
theorem)의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 슈톨츠-체사로 정리는 로피탈 정리에서의 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을
사용한다.
정리 1. 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem) $\langle a_n\rangle$이 임의의 실수열이라 하고, $\langle b_n\rangle $은 양의 무한대로 발산하는
순증가수열(strictly increasing sequence)이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.
\begin{align*} \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}
&\leq \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \tag*{$(1)$} \\ \limsup_{n
\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} &\geq \limsup_{n \to \infty}
\frac{a_n}{b_n} \tag*{$(2)$} \end{align*}
나아가 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$이 존재하고 그 값이 $L$이라
가정하자. 그러면 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ 또한 존재하고 그 값은 $L$과 같다. 즉, 다음이
성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \lim_{n \to
\infty} \frac{a_n}{b_n} \tag*{$(3)$} \]
증명. 편의상 부등식 $(1)$만을 증명하도록 하자. 그러면 $a_n$ 대신에 $-a_n$을 대입하여 부등식 $(2)$를
얻을 수 있다. 또한 만약 부등식 $(1)$의 좌변이 $-\infty$이변 부등식이 자명하게 성립한다. 이제
\[ \alpha < \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} \]
라 가정하자. 그러면 충분히 큰 양의 정수 $N$이 존재하여, 임의의 $k \geq 0$에 대하여 다음을 얻는다.
\[ \alpha < \frac{a_{N+k} - a_{N+k-1}}{b_{N+k} - b_{N+k-1}} \]
이제 문제의 가정에 의해 $b_{n+1}>b_n$이 성립하므로, 임의의 $k \geq 0$에 대하여
\[ \alpha \left( b_{N+k} - b_{N+k-1} \right) < a_{N+k} - a_{N+k-1} \]
임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $m \geq 0$에 대하여,
\[ \alpha (b_{N+m} - b_{N-1}) = \alpha \sum_{k=0}^{m} b_{N+k} - b_{N+k-1}
< \sum_{k=0}^{m} a_{N+k} - a_{N+k-1} = a_{N+m} - a_{N-1} \]
를 얻는다. 이제 위 식의 양변을 $b_{N+m}$으로 나누어 주면
\[ \alpha \left( 1 - \frac{b_{N-1}}{b_{N+m}} \right) <
\frac{a_{N+m}}{b_{N+m}} - \frac{a_{N-1}}{b_{N+m}} \]
이고 여기서 $m \to \infty$의 극한을 취하면
\[ \alpha \leq \liminf_{m \to \infty} \frac{a_m}{b_m} \]
를 얻는다. 위 사실을 정리하면 $\alpha < \text{(LHS)}$일 때마다 $\alpha \leq
\text{(RHS)}$를 얻는다. 이는 $\text{(LHS)} \leq \text{(RHS)}$이여야만 함을 의미하고, 따라서
\[ \liminf_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} \leq
\liminf_{m \to \infty} \frac{a_m}{b_m} \]
이 되어 부등식 $(1)$이 성립한다. 마지막으로 $\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$의 극한이 존재한다고
가정하면, 부등식 $(1)$과 $(2)$, 그리고 조임정리(squeeze theorem)에 의해 $(3)$을 얻는다.
슈톨츠-체사로 정리의 따름정리들
따름정리 2 $\langle x_n \rangle$이 임의의 실수열이라 하자. 만약 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$이면
다음이 성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = L \]
증명. $a_n = \sum_{k=1}^n x_k$이고 $b_n = n$이라 정의하자. 그러면 $\langle
b_n \rangle$은 양의 무한대로 발산하는 순증가수열임은 자명하고
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to
\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} x_k - \sum_{k=1}^{n} x_k}{(n+1) - n} = \lim_{n
\to \infty} x_{n+1} = L \]
를 얻는다. 따라서 슈톨츠-체사로 정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$임을 알 수
있다. 그러므로
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \lim_{n \to
\infty } \frac{a_n}{b_n} = L \]
을 얻고 증명이 완료된다.
따름정리 3 $\langle x_n \rangle$이 임의의 양의 실수열이라 하자. 만약 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$이면
다음이 성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_1\, x_2\, \cdots\, x_n} = L \]
증명. $y_n = \ln(x_n)$로 치환하면, 따름정리 2에 의해 성립한다.
따름정리 4 $\langle x_n\rangle$이 임의의 실수열이라 하고, $\langle y_n\rangle $은 $\sum_{k=1}^{\infty} y_k = \infty$를 만족하는 임의의 양의 실수열이라
하자. 만약 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = L$이면 다음이 성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{y_1 + y_2 + \cdots
+ y_n} = L \]
증명. $a_n = \sum_{k=1}^n x_k$이고 $b_n = \sum_{k=1}^n y_k$라 정의하자. 이
때, $y_n > 0$이므로 $\langle b_n \rangle$은 양의 무한대로 발산하는 순증가수열임을 알 수 있다. 또한
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to
\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} x_k - \sum_{k=1}^{n} x_k}{\sum_{k=1}^{n+1} y_k -
\sum_{k=1}^{n} y_k} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{y_{n+1}} = L
\]
를 얻는다. 따라서 슈톨츠-체사로 정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$임을 알 수
있다. 그러므로
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{y_1 + y_2 + \cdots +
y_n} = \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = L \]
을 얻고 증명이 완료된다.
