[퍼온글] 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490

http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/20/1511

아래와 같은 형태의 급수의 값

\[ L := \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} \]

은 잘 알려져 있는 사실이다. 이 급수는 라이프니츠 급수(Leibniz series)라는 이름으로 불리운다. 또한 이 급수의 수렴속도가 매우 느리다는 사실 또한 잘 알려져 있는데, 수렴 속도가 어느정도인지 알아보기 위해서 급수를 첫째 항 부터 5000번째 항 까지 더해보면 재미있는 현상이 나타난다.

\[ 4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = 3.14139265359179323836264339547950011419\cdots \]

오천개를 더해도, 소수점 아래 두 자리까지 밖에 정확하게 구해내지 못하는 이 비효율성!! 사실 이 급수를 오억번째 항까지 더한다고 하더라도, $\pi$의 소수점 아래 여덟자리 정도 까지만 정확하게 구해낼 수 있을 뿐이다. 그런데 위의 급수의 부분합과 실제 $\pi$의 값을 비교해보면,

3.14139265359179323836264339547950011419... (위의 급수)

3.14159265358979323846264338327950288419... (실제 $\pi$값)

소수점 넷째 자리에서는 틀렸다가, 그 다음부터는 다시 실제 $\pi$값의 소수점 자리와 일치하고, 다시 몇 자리를 틀리고를 반복함을 관찰할 수 있다.

오일러수를 이용한 오차의 계산

이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수(Euler number)를 이용하자. 이 수를 이용하면 시컨트 함수의 맥클로린 전개(Maclaurin expansion)를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\[ \sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \]

(여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린 전개은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 그 외의 삼각함수에 맥클로린 전개에 대해서는 보통 얘기를 하지 않는다. $B_n$은 베르누이수(Bernoulli number), $E_n$은 오일러수(Euler number)라 하면, 이 삼각함수들의 맥클로린 전개는 아래와 같다.

\[ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \]

\[ \cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \]

\[ \sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \]

\[ \csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \]

이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다. 아니 미적분학을 말하는데 오일러-맥클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)을 얘기하지 않는단 말인가!!)

오일러수 $E_n$의 처음 몇 개의 짝수번째 항들은 다음과 같다. ($E_n$의 홀수번째 항들은 모두 $0$이다.)

\begin{align*} E_0 &=& 1 \\ E_2 &=& −1 \\ E_4 &=& 5 \\ E_6 &=& −61 \\ E_8 &=& 1385 \\ E_{10} &=& −50521 \\ E_{12} &=& 2702765 \\ E_{14} &=& −199360981 \\ E_{16} &=& 19391512145 \\ E_{18} & =& −2404879675441 \end{align*}

이제 다시 본론으로 돌아가서, $\pi$의 값과 (4배한) 라이프니츠 급수 사이의 오차에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면 이 오차를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 } \approx \sum_{m=0}^{\infty} \frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}} = \frac{2}{N} - \frac{2}{N^3} + \frac{10}{N^5} - \frac{122}{N^7} + \frac{2770}{N^9} - \frac{101042}{N^{11}} + \cdots \]

(이 때, $N$은 4의 배수라 하자.) 수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.

\[ 4\sum_{k=N/2+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = (-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{N^{2k+1}}+R(M) \]

여기서 $|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{N^{2M+1}}$이 성립한다. 따라서 $N=10^{l}$ 일때, $\pi$와 (4배한) 라이프니츠 급수 사이의 오차는 소수점 $l$번째 (또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다. 오차항에 대해서는 $2|E_{2(M+1)}|$과 $10^{l(2M+1)}$의 자릿수가 엇비슷해지는 $M$을 찾았을때 $k=M$ 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다. 즉, 라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 $l(2M+1)$ 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.

예제 1. $N=10^2$인 경우, $2E_6$가 네자리 수이므로, $M=2$로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\[ 4\sum_{k=1}^{50} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = 3.12159465259101047851 \cdots \]

3.12|1594|6525|9101... (위의 급수)

3.14|1592|6535|8979... (실제 $\pi$값)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수의 2배인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

예제 2. $N=10^3$인 경우, $2E_{10}$이 여섯자리 수이므로, $M=4$로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\[ 4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = 3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots \]

3.139|592655|589783|238584|640613... (위의 급수)

3.141|592653|589793|238462|643383... (실제 $\pi$값)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 역시 오일러수의 2배인 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

예제 3. $N=10^4$인 경우, $2E_{12}$가 일곱자리 수이므로, $M=5$로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 $44$자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

\[ 4\sum_{k=1}^{5000} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = 3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots \]

3.1413|92653591|79323836|26433954|79500114|19817981... (위의 급수)

3.1415|92653589|79323846|26433832|79502884|19716939... (실제 $\pi$값)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수의 2배인 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.

※ 참고 - J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, "Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions", The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687.