주어진 방정식의 해의 위치를 근사하는 방법

아래의 정리는 $n$개의 실근을 가지는 실계수 다항식 $p(x)$의 해의 위치를 근사할 수 있는 정리이다. 예를 들어 다음의 3차 방정식을 생각해 보자.

$$x^3-2x^2-x+2=0$$

위 다항식에 아래의 정리를 적용하면 ($n=3$, $a_{n-1}=-2$, $a_{n-2}=-1$ 이므로) $$-\frac{-2}{3}\pm \frac{2}{3}\sqrt{(-2{)}^2-\frac{6}{2}(-1)}\Rightarrow \frac{2}{3}\pm \frac{2}{3}\sqrt{7}$$

을 얻는다. 따라서 주어진 3차 방정식의 세 근은 모두 구간 $[-1,0972,2.4035]$ 안에 존재해야만 함을 알 수 있다. 실제로 세 근을 계산해보면 $x=-1,1,2$ 이며 위의 정리가 성립함을 알 수 있다.

 

정리

실수를 계수로 갖는 $n$ ($n\ge 2$)차 다항식

$$p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_1{x}_1+a_0$$

이 $n$개의 실근을 가진다고 가정하자. 그러면 모든 근들은 아래 두점을 양 끝으로 하는 구간 안에 놓인다.

$$-\frac{a_{n-1}}{n}\pm \frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}.$$

증명. 주어진 다항식의 $n$개의 근을 각각 $y_1,y_2,\dots ,y_n$이라 하자. 그러면

$$p(x)=(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_n)$$

와 같이 쓸 수 있다. 위 식을 전개하여 계수를 비교하면

$$\begin{array}{rl}-a_{n-1}& =y_1+y_2+\cdots +y_n\\ a_{n-2}& =y_1(y_2+\cdots +y_n)+\sum _{2\le i<j}{y}_i{y}_j.\end{array}$$

따라서 $y_1$에 대하여

$$a_{n-1}^2-2a_{n-2}-y_1^2=\sum _{i=2}^n{y}_i^2$$

라는 값을 얻는다. 이제 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz inequality)에 의하여

$$\begin{array}{rl}(a_{n-1}+y_1{)}^2& =(y_2+y_2+\cdots +y_n{)}^2\\ & \le (n-1)(y_2^2+y_3^2+\cdots +y_n^2)\\ & =(n-1)(a_{n-1}^2-2a_{n-2}-y_1^2)\end{array}$$

가 됨을 알 수 있다. 위 부등식을 정리하면

$$y_1^2+\frac{2a_{n-1}}{n}{y}_1-\frac{n-2}{n}{a}_{n-1}^2+\frac{2(n-1)}{n}{a}_{n-2}\le 0$$

를 얻고 따라서 근 $y_1$이 (같은 방법으로 모든 $y_i$가) 위 이차방정식의 두 근 사이에 놓여야만 함을 알 수 있다. 따라서 증명이 완료된다.