Problems and Solutions #019

Problem #019

평면 위의 집합 $S$에 대하여, $S$의 경계(boundary)가 평행한 두 직선이 될 때, 이 집합 $S$를 띠(strip)라 정의하자. 또한 $\abs{S}$를 이 평행한 두 직선 사이의 거리로 정의하자. 이제 평면 위의 띠들로 이루어진 수열 $(S_n)$에 대하여, 만약 $\sum_{n=1}^{\infty} \abs{S_n}$이 수렴하면 어떠한 $S_n$에도 포함되지 않는 점이 반드시 평면 위에 존재함을 보여라.

$\sum_{n=1}^{\infty} \abs{S_n} = M$이라 하자. 이제 원점이 중심이고 반지름이 $R$인 원을 $B_R$이라 하자. 그러면 임의의 $S_n$에 대하여 $B_R \cap S_n$의 넓이는 언제나 $2R\abs{S_n}$보다 작아야 한다.

따라서 아래의 부등식이 성립한다.

\[ \operatorname{area}\left( B_n \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} S_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{area}(B_R \cap S_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2R\abs{S_n} = 2RM. \]

이제 반지름 $R$을 충분히 크게 잡아 $R>2M/\pi$가 되도록 하자. 그러면

\[ \pi R^2 > 2RM \geq \operatorname{area}\left( B_n \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} S_n \right) \]

을 얻는다. 다시 말해 원 $B_R$의 넓이가 $B_R$과 $\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n$의 교집합의 넓이보다 커지게 된다. 즉, $B_R$안에 $\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n$에 속하지 않는 점이 반드시 존재하고 따라서 증명이 완료된다.