주어진 실함수 에 대하여, 가 번 미분 가능하고 계 도함수(derivative)가 연속(continuous)이면, 를 함수라고 한다. (이때, 는 앞선 조건을 만족하는 모든 함수들의 집합을 뜻한다.) 예를 들어 가 함수이면 는 연속함수이고, 가 함수이면, 는 연속 미분 가능한(continuously differentiable) 함수, 즉 가 한번 미분 가능하고, 그 도함수가 연속인 함수를 말한다. 만약 가 무한번 미분 가능(infinitely differentiable)하면, '가 매끈하다(smooth)'고 하거나 '는 함수이다'라고 한다.
이제 해석 함수(analytic function)에 대해서 살펴보자. '가 주어진 점 에서 해석적(analytic)이다'라는 뜻은 의 근방(neighborhood)에서 로 수렴하는 급수가 존재하여,
와 같이 나타낼 수 있음을 말한다. 만약 가 모든 점 에서 해석적이면, 간단히 '는 해석 함수(analytic function)이다'라고 하거나 또는 '는 함수이다'라고 한다.
모든 (실)해석 함수는 매끄러운 함수이고, 따라서 모든 점에서 의 테일러 급수(Taylor expansion)은 로 수렴한다.
역으로 모든 매끄러운 함수는 해석적이다라고 할 수 있을까? 이 질문의 대답은 그렇지 않다이다. 이를 보이기 위하여 다음과 같은 함수 를 살펴보자.
먼저 가 매끄러운 함수임을 증명해보자. 수학적 귀납법(induction)을 이용하여, 아래와 같이 정의된 함수들이 의 연속인 계 도함수임을 보일 것이다.
여기서 는 차 다항함수(polynomial)로서 귀납적으로 다음과 같이 정의다.
먼저 인 구간에서 가 무한번 미분 가능하고 임은 자명하다. 이제 인 구간에서 일 때, 이고, 모든 에 대하여,
이므로 귀납법에 의해 인 구간에서 는 의 계 도함수이다.
이제 모든 에 대하여 함수 와 가 에서 연속이고 미분가능함을 증명해 보자. 먼저 의 에서의 미분계수는
이고 임의의 에 대하여,
따라서 는 매끄러운 함수임을 알 수 있다.
이제 함수 가 에서 해석적이지 않음을 증명해 보자. 앞서 모든 에 대하여 임을 보였으므로, 의 에서의 테일러 급수는 다음과 같음을 알 수 있다.
하지만 이면, 이므로 위 테일러 급수는 인 구간에서 와 같지 않다. 따라서 는 에서 해석적이지 않다.
이제 다시 처음으로 되돌아가 보자. 의 정의에 의하여, 자명하게 다음과 같은 포함관계가 성립한다.
또한 임을 위헤서 보였고, 위의 반례에 의하여, 이므로, 최종적으로
가 성립한다.