매끄럽지만 해석적이지 않은 함수

written by jjycjn   2015. 10. 21. 05:38

주어진 실함수 f:RR에 대하여, fk번 미분 가능하고 k계 도함수(derivative)가 연속(continuous)이면, fCk 함수라고 한다. (이때, Ck는 앞선 조건을 만족하는 모든 함수들의 집합을 뜻한다.) 예를 들어 fC0 함수이면 f는 연속함수이고, fC1 함수이면, f는 연속 미분 가능한(continuously differentiable) 함수, 즉 f 가 한번 미분 가능하고, 그 도함수가 연속인 함수를 말한다. 만약 f가 무한번 미분 가능(infinitely differentiable)하면, 'f가 매끈하다(smooth)'고 하거나 'f는  C 함수이다'라고 한다.


이제 해석 함수(analytic function)에 대해서 살펴보자. 'f가 주어진 점 x0에서 해석적(analytic)이다'라는 뜻은 x0의 근방(neighborhood)에서 f로 수렴하는 급수가 존재하여,

f(x)=n=0an(xx0)n=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+

와 같이 나타낼 수 있음을 말한다. 만약 f가 모든 점 x0R에서 해석적이면, 간단히 'f는 해석 함수(analytic function)이다'라고 하거나 또는 'fCw 함수이다'라고 한다.


모든 (실)해석 함수는 매끄러운 함수이고, 따라서 모든 점에서 f의 테일러 급수(Taylor expansion)은 f로 수렴한다.

f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)n=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2(xx0)2+.


역으로 모든 매끄러운 함수는 해석적이다라고 할 수 있을까? 이 질문의 대답은 그렇지 않다이다. 이를 보이기 위하여 다음과 같은 함수 f:RR를 살펴보자.

f(x)={e1/xif x>0,0if x0.


먼저 f가 매끄러운 함수임을 증명해보자. 수학적 귀납법(induction)을 이용하여, 아래와 같이 정의된 함수들이 f의 연속인 k계 도함수임을 보일 것이다.

f(n)(x)={pn(x)x2nf(x)if x>0,0if x0.

여기서 pn(x)n1차 다항함수(polynomial)로서 귀납적으로 다음과 같이 정의다.

p1(x)=1,pn+1(x)=x2pn(x)(2nx1)pn(x),nN.


먼저 x0인 구간에서 f가 무한번 미분 가능하고 f(n)(x)=0임은 자명하다. 이제 x>0인 구간에서 n=1일 때, f(x)=1x2e1/x=p1(x)x2f(x)이고, 모든 nN에 대하여,

f(n+1)(x)=(pn(x)x2n2npn(x)x2n+1+pn(x)x2n+2)f(x)=x2pn(x)(2nx1)pn(x)x2n+2f(x)=pn+1(x)x2(n+1)f(x)

이므로 귀납법에 의해 x>0인 구간에서 f(n)fn계 도함수이다.


이제 모든 nn에 대하여 함수 ff(n)x=0에서 연속이고 미분가능함을 증명해 보자. 먼저 fx=0에서의 미분계수는 

limx0f(x)f(0)x0=limx0e1/xx=0.

이고 임의의 nN에 대하여,

limx0f(n)(x)f(n)(0)x0=limx0pn(x)x2n+1e1/x=0.

따라서 f는 매끄러운 함수임을 알 수 있다.


이제 함수 fx=0에서 해석적이지 않음을 증명해 보자. 앞서 모든 nN{0}에 대하여 f(n)(0)=0임을 보였으므로, fx=0에서의 테일러 급수는 다음과 같음을 알 수 있다.

n=0f(n)(0)n!xn=n=00n!xn=0,for allxR,

하지만 x>0 이면, f(x)=e1/x>0 이므로 위 테일러 급수는 x>0인 구간에서 f와 같지 않다. 따라서 fx=0에서 해석적이지 않다.


이제 다시 처음으로 되돌아가 보자. Ck의 정의에 의하여, 자명하게 다음과 같은 포함관계가 성립한다.

C0C1C2C.

또한 CwC임을 위헤서 보였고, 위의 반례에 의하여, CCw이므로, 최종적으로

C0C1C2CCw

가 성립한다.

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