여러가지 공간(Space) 사이의 포함관계

이전 포스트에서 여러가지 공간(space)에 대한 정의에 대해 살펴보았다. 이번 포스트에서는 각 공간들 사이에 포함관계에 대해서 알아보도록 한다. 

실제로 수학에서 쓰이는 수학적 공간은 아래에 열거된 것 보다 훨씬 범위가 넓다. 예를 들어, 미분기하학에서 쓰이는 다양체(manifold)가 있고, 미분방적식을 다룰 때에 공간은 보통 소볼레프 공간(Sobolev space)을 의미한다. 측도론(measure theory)에서의 측도공간(measure space)도 수학적 공간의 한 예이며, 이의 특수한 경우인 확률공간(probability space)는 보통 통계학에서 다루어진다. 이 외에도 위상수학(general topology) 에서의 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 정칙공간(regular space), 정규공간(normal space) 등을 생각해 볼 수 있다. 이 포스트에서는 해석학, 특히 실해석학에서 주로 다루는 공간만을 다루도록 한다.

1. 거리공간(metric space) \( \subset \) 위상공간(topological space)

거리공간(metric space) \( \left( M,d \right) \)에서, 점 \(x_{0} \in M \)을 중심으로 하고, 반지름 \(r \in \mathbb{R} \)을 갖는 열린 공(open ball)을 다음과 같이 정의한다.

\[ B(x_{0},r) := \lbrace x \in M \ \vert \ d(x_{0}, x) < r \rbrace \]

이제 열린 공들을 기저(basis)로 갖는 위상(topology) \( \mathcal{T} \)를 만들면, 이는 거리위상(distance topology)이 되고 위상공간(topological space)의 성질을 만족한다.

2. 노름공간(normed vector space) \( \subset \) 거리공간(metric space)

노름공간(normed vector space) \( \left( V, || \cdot || \right) \)에서, 두 원소 \( x,y \in V \) 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.

\[ d(x,y) := || x-y || \]

그러면 \( \left( V, d \right) \)는 거리공간(metric space)의 성질을 만족한다.

3. 내적공간(inner product space) \( \subset \) 노름공간(normed vector space)

내적공간(inner product space) \( \left( V, \left< \cdot, \cdot \right> \right) \)에서, \(V\)의 원소 \(x\)의 노름(norm)을 다음과 같이 정의한다.

\[ || x || := \sqrt{\left< x,x \right>} \]

그러면 \( \left( V, || \cdot || \right) \)는 노름공간(normed vector space)의 성질을 만족한다.

4. 힐베르트 공간(Hilbert space) \( \subset \) 바나흐 공간(Banach space)

힐베르트 공간(Hilbert space)은 완비내적공간(complete inner product space)이고, 바나흐 공간(Banach space)은 완비노름공간(complete normed vector space)이므로, 3에 의해 자명하게 성립한다.

이상의 성질들을 도표로 만들면 다음과 같다.