두 무한급수의 합

다음과 같이 두 무한급수를 정의하자. \[ \begin{align*} S_{1} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \\[5px] S_{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \cdots \end{align*} \] 위 두 급수의 값 중 어느 것이 더 큰지 비교해 보자. 우선 $n \neq 0$일 때, $S_{2}$의 $n$번째 항이 $S_{1}$의 $n$번째 항보다 더 크므로 $S_{1} < S_{2}$일 것 같아 보인다. 반대로 $S_{1}$의 $0$번째 항은 $S_{1}$의 $0$번째 항보다 $1$이나 더 크고, 나머지 항의 차는 점점 작아지기 때문에 $S_{1} > S_{2}$이 될 수도 있겠다는 생각이 들 수도 있다.

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하지만 실제로 두 급수의 합을 계산해 보면 $S_{1} = S_{2}$라는 재미있는 결과를 얻을 수 있는데, 이를 증명해 보도록 하자.

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증명. 무한등비급수의 합 공식에 따르면, $\abs{x} < 1$을 만족하는 임의의 실수 $x$에 대하여 \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \tag*{$(\ast)$} \] 이 성립한다. 따라서 $x = \frac{1}{2}$를 식 $(\ast)$에 대입하면, 간단히 무한급수 $S_{1}$의 값을 구할 수 있다. \[ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \] 한 편, 식 $(\ast)$의 양변을 미분하면, \[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \] 를 얻는다. 위 식의 좌변의 합을 $n=0$부터로 바꾸어도 좌변의 값은 변하지 않는다. 그리고 나서 위 식의 양변에 $x$를 곱하면 \[ \sum_{n=0}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \tag*{$(\ast\ast)$} \] 를 얻는다. 이제 $x = \frac{1}{2}$를 식 $(\ast\ast)$에 대입하면, 무한급수 $S_{2}$의 값 또한 구할 수 있다. \[ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2} = 2 \] 그러므로 $S_{1} = S_{2}$가 성립한다..

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위 두 무한급수의 합과 관련해서 다음과 같은 재미있는 일화가 있다.

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옛날 어떤 나라의 독재자 왕은 다음과 같은 생각을 하게 되었다. "(여자가 남자보다 훨씬 더 많도록) 남녀 성비를 조절하여, 이 나라의 모든 남자들이 더 많은 여자를 아내로 맞이할 수 있도록 해야겠다." 이를 위해 독재자 왕은 다음과 같은 법을 발표하였다.

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"이 나라의 모든 여성들은, 태어나는 아이가 여자아이라면 계속해서 아이를 더 낳을 수 있지만, 한번이라도 남자아이를 낳는 순간 더 이상 아이를 낳지 못한다!"

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따라서 이 법에 따르면 남자아이를 $M$으로 여자아이를 $F$로 나타낼 때, 각 가정의 아이의 성별은 나이 순서대로 \[ M,\, FM,\, FFM,\, FFFM,\, FFFFM,\, \ldots \] 와 같은 형태만이 존재하게 된다. 만약 이 법을 수십년간 지속한다면, 결국 독재자 왕의 바램은 이루어 질 수 있을까?

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남자아이와 여자아이를 낳을 확률은 동일하므로 $p = \frac{1}{2}$임을 알 수 있다. 이제 각 가정의 남자아이의 수에 대한 기댓값은 \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{S_{1}}{2} = 1 \] 이다. 또한 여자아이의 수에 대한 기댓값은 \[ \frac{0}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \cdots = \frac{S_{2}}{2} = 1 \] 그러므로 각 가정의 남자아이와 여자아이의 수에 대한 기댓값은 모두 $1$명으로 동일함을 알 수 있다. 즉, 독재자 왕의 바램은 이루어 질 수 없다.