Problems and Solutions #047

Problem #047

다음 극한을 구하여라.

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{8^n + 4^n + 2^n} - 2^n \]

주어진 극한값을 $L$이가 하자. 이제 $x = 2^n$으로 치환을 하면 주어진 극한은 다음 극한과 같다.

\[ L = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \]

이제 이항정리에 따르면 $a \to 0$일 때, $(1+a)^n \approx 1 + na$이므로

\[ \begin{align*} L &= \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1 \right) \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} x \left( 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) - 1\right) \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3} + \frac{1}{3x} \\[5px] &= \frac{1}{3}\end{align*} \]

따라서 $L = \frac{1}{3}$을 얻는다.