Problems and Solutions #044

Problem #044

다음 적분 값을 구하여라.

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+x^5)-\ln (1+x^3)}{(1+x^2)\ln (x)}dx$$

구간 $(0,\mathrm{\infty })$에서 적분 가능한 함수 $f$에 대하여 다음 식이 성립한다.

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}dx$$

위 등식은 좌변의 적분에 $x=\frac{1}{u}$로 치환적분을 하면 간단히 성립함을 보일 수 있다. 이제 함수 $f$를 위 문제에 주어진 피적분 함수로 정의하면,

$$\begin{array}{rl}\frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}& =\frac{\ln (1+x^{-5})-\ln (1+x^{-3})}{x^2(1+x^{-2})\ln (-x)}\\ & =\frac{\ln (x^{-5}(1+x^5))-\ln (x^{-3}(1+x^3))}{(1+x^2)(-\ln (x))}\\ & =-\frac{\ln (1+x^5)-\ln (1+x^3)-\ln (x^5)+\ln (x^3)}{(1+x^2)\ln (x)}\\ & =-\frac{\ln (1+x^5)-\ln (1+x^3)-2\ln (x)}{(1+x^2)\ln (x)}\end{array}$$

를 얻는다. 그러므로

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)+\frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\ln (x)}{(1+x^2)\ln (x)}dx\\ ◼& & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{2}\end{array}$$