다음 적분 값을 구하여라.
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x^{5}) - \ln(1+x^{3})}{(1+x^{2}) \ln(x)} \,dx \]
구간 $(0,\, \infty)$에서 적분 가능한 함수 $f$에 대하여 다음 식이 성립한다.
\[ \int_{0}^{\infty} f(x) \,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} \,dx \]
위 등식은 좌변의 적분에 $x = \frac{1}{u}$로 치환적분을 하면 간단히 성립함을 보일 수 있다. 이제 함수 $f$를 위 문제에 주어진 피적분 함수로 정의하면,
\[ \begin{align*} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} &= \frac{\ln(1+x^{-5}) - \ln(1+x^{-3})}{x^2(1+x^{-2}) \ln(-x)} \\[5px] &= \frac{\ln(x^{-5}(1+x^{5})) - \ln(x^{-3}(1+x^{3}))}{(1+x^{2}) (-\ln(x))} \\[5px] &= - \frac{\ln(1+x^{5}) - \ln(1+x^{3}) - \ln(x^5) + \ln(x^3)}{(1+x^{2}) \ln(x)}\\[5px] &= - \frac{\ln(1+x^{5}) - \ln(1+x^{3}) - 2\ln(x)}{(1+x^{2}) \ln(x)} \end{align*} \]
를 얻는다. 그러므로
\[ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} f(x) \,dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(x) + \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} \,dx \\[5px] &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{2 \ln(x)}{(1+x^2)\ln(x)} \,dx \\[5px] &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \,dx = \frac{\pi}{2} \tag*{$\color{myblue}{\blacksquare}$} \end{align*} \]
