바나흐-타르스키 역설 - 3. $SO_3$ 위에서의 자유군

군 $SO_3$ 위에서의 자유군 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$

이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 $\mathcal{S}^2$를 생각하자

\[ \mathcal{S}^2 := \set{(x,\,y,\,z) \in \R^3}{x^2 + y^2 + z^2 = 1}. \]

이제 $^2$ 위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합 $SO_3$를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이 $1$인 $3 \times 3$ 직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다.^[각주:1] 즉,

\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\mathsf{T}} A = I,\, \det(A)=1}. \]

바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료는 바로 이 군 $SO_3$ 위에서의 자유군(free goup) $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$를 정의하는 것이다. 먼저 $\varphi$를 $x$-축을 기준으로 반시계방향으로 $\arccos(\tfrac{1}{3})$만큼 회전하는 것이라 정의하자. 또한 $\psi$는 $z$-축을 기준으로 반시계방향으로 $\arccos(\tfrac{1}{3})$만큼 회전하는 것이라 정의하자. $\varphi$와 $\psi$를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

\[ \renewcommand{\arraystretch}{.5} \begin{aligned} \varphi &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2\sqrt{2} \\ 0 & 2\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad & \varphi' &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\sqrt{2} \\ 0 & -2\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \\[5pt] \psi &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2\sqrt{2} & 0 \\ 2\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, & \psi' &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2\sqrt{2} & 0 \\ -2\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

우선 $\varphi,\, \psi \in SO_3$이므로 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$은 $SO_3$의 부분집합임은 자명하다. 이제 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$이 단순히 부분집합이 아니라 자유군이 됨을 증명해 보자. 먼저 아래의 보조정리를 살펴보자.

보조정리 3.1

$\rho$가 길이(length)가 $n$인 집합 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$의 원소라 하자. 그러면 적당한 정수 $a,\,b,\,c$가 존재하여 다음이 성립한다: $b \nmid 3$이고 (즉, $b$는 $3$의 배수가 아니고),

\[ \rho(1,\,0,\,0) = \frac{1}{3^n}(a,\, b\sqrt{2},\, c). \]

증명. $n$에 대한 수학적 귀납법(induction)을 이용하자. 우선 $n=0$일 때는 자명하다. 이제 $n=1,\,2,\, \ldots k$일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. $n=k+1$인 경우를 살펴보기 위하여, $\rho$를 길이가 $k+1$인 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$의 원소라 하자. 그러면 $\rho$는 길이가 $k$인 원소 $\rho$가 존재하여, $\varphi \rho'$, $\varphi' \rho'$, $\psi \rho'$, 또는 $\psi' \rho'$ 네가지 경우 중 하나가 된다. 이제 귀납적 가정에 의하여 $\rho'(1,\,0,\,0)  = \tfrac{1}{3^k}(a',\, b'\sqrt{2},\,c')$라 나타낼 수 있고, 네가지 경우 모두를 살펴보면

\[ \renewcommand{\arraystretch}{.5} \begin{aligned} \varphi \rho'(1,\,0,\,0) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2\sqrt{2} \\ 0 & 2\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{3^k} \begin{pmatrix} a' \\ b'\sqrt{2} \\ c' \end{pmatrix} = \frac{1}{3^{k+1}} \begin{pmatrix} 3a' \\ (b'-2c')\sqrt{2} \\ c'+4b' \end{pmatrix} \\[5pt] \varphi' \rho'(1,\,0,\,0) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2\sqrt{2} \\ 0 & -2\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{3^k} \begin{pmatrix} a' \\ b'\sqrt{2} \\ c' \end{pmatrix} = \frac{1}{3^{k+1}} \begin{pmatrix} 3a' \\ (b'+2c')\sqrt{2} \\ c'-4b' \end{pmatrix} \\[5pt] \psi \rho'(1,\,0,\,0) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2\sqrt{2} & 0 \\ 2\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \frac{1}{3^k} \begin{pmatrix} a' \\ b'\sqrt{2} \\ c' \end{pmatrix} = \frac{1}{3^{k+1}} \begin{pmatrix} a'-4b' \\ (b'+2a')\sqrt{2} \\ 3c' + c' \end{pmatrix} \\[5pt] \psi' \rho'(1,\,0,\,0) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2\sqrt{2} & 0 \\ -2\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \frac{1}{3^k} \begin{pmatrix} a' \\ b'\sqrt{2} \\ c' \end{pmatrix} = \frac{1}{3^{k+1}} \begin{pmatrix} a'+4b' \\ (b'-2a')\sqrt{2} \\ 3c' \end{pmatrix} \end{aligned} \]

따라서 적당한 정수 $a,\,b,\,c$가 존재하여 $\rho(1,\,0,\,0) = \tfrac{1}{3^{k+1}}(a,\, b\sqrt{2},\,c)$가 됨을 알 수 있다. 이제 $3 \nmid b$임을 보이자. 이를 보이기 위해 길이가 $k-1$인 적당한 $\rho''$를 이용해 $\rho$를 $\varphi \varphi \rho''$, $\varphi \psi \rho''$, $\varphi \psi' \rho''$, ..., $\psi' \psi \rho''$, $\psi' \psi' \rho''$의 12가지 경우로 ($\varphi \varphi' \rho''$, $\varphi \varphi' \rho''$, $\psi \psi' \rho''$, $\psi' \psi \rho''$의 네가지 경우가 제외되므로) 나누어 생각해 보자. 예를 들어 $\varphi \psi' \rho''$인 경우의 $b$ 값은 아래의 계산을 통해 얻을 수 있다.

\[ b = b'-2a' = b' - 2(3a'') = b' - 6a'' \]

위 식에서 $3 \nmid b'$이므로 $3 \nmid b$를 얻는다. 또한 예를 들어 $\psi \psi \rho''$인 경우 $b$ 값을 구해보면

\[ \begin{aligned} b &= b'+2a' = b' + 2(a''-4b'') = b' + 2a'' - 8b'' \\ &= b' - 9b'' + (2a'' + b'') = b' - 9b'' + b' = 2b' + 9b'' \end{aligned} \]

를 얻고, 마찬가지로 $3 \nmid b'$이므로 $3 \nmid b$를 얻는다. 나머지 10가지 경우도 위의 두가지 방법중 하나를 통해 증명이 가능하다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 위 보조정리가 성립한다. ■

정리 3.2

집합 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$은 자유군(free group)이다.

증명. $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$이 자유군임을 증명하기 위해서는 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$에 자명하지 않은(non-trivial) 항등원(unit element)이 존재할 수 없음을 보이면 된다. 만약 자명하지 않은 항등원 $\rho \neq 0$이 존재한다고 하자. 그러면 $\rho(1,\,0,\,0) = (1,\,0,\,0)$을 얻는다. 하지만 보조정리 3.1에 의하여

\[ (1,\,0,\,0) = \rho(1,\,0,\,0) = \frac{1}{3^n}(a,\, b\sqrt{2},\, c) \]

을 얻을 수 있고, 따라서 $a=3^n$이고 $b=c=0$임을 알 수 있다. 하지만, $3 \nmid b$이므로 $b \neq 0$이 되어 모순이 발생한다. ■

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_group_SO(3) [본문으로]