피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

피보나치 수열_{(Fibonacci sequence)}은 $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을 작성한 적이 있다.

• 피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 그래프(graph)
• 피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수
• 피보나치 수(Fibonacci number) 판별법

한 편 루카스 수열_{(Lucas sequence)}은 피보나치 수열과 초기값은 다르지만 동일한 점화관계_{(recurrence relation)}을 갖는 수열로서, $L_0=2$, $L_1=1$, $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$와 같이 정의된다. 피보나치 수열(OEIS: A000045)과 루카스 수열(OEIS: A000032)의 첫 $10$개 항을 나열하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}(F_n)& =(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots )\\ (L_n)& =(2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,\dots )\end{array}$$

$$

피보나치 수열과 루카스 수열 사이에는 다양한 항등식이 성립하는데, 그 중 몇 가지는 삼각함수의 항등식과 유사한 형태를 가짐을 확인할 수 있다. 예를 들어 $(F_n)$과 $(L_n)$ 사이에는 다음의 항등식

$$\begin{array}{}(1)& -5F_n^2+L_n^2=4(-1{)}^n\end{array}$$

이 성립하는데, 이는 삼각함수의 항등식

$$\begin{array}{}(2)& {\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1\end{array}$$

과 유사한 형태를 가진다. 또한 다음의 항등식

$$\begin{array}{}(3)& 2F_{m+n}=F_m{L}_n+L_m{F}_n\end{array}$$

은 삼각함수의 덧셈공식

$$\begin{array}{}(4)& \sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

와 유사한 형태를 가진다. 실제로 식 $(2)$와 $(4)$에서 $\sin (\theta )$를 $F_n$으로 $\cos (\theta )$를 $L_n$으로 치환한 뒤에, 계수를 적절이 맞추어 주면 식 $(1)$과 $(3)$을 각각 얻을 수 있음을 확인할 수 있다. 전혀 다른 것으로 보이는 피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이에 이러한 유사성이 발생하는 이유는 무엇일까? 이 두 수열과 삼각함수 사이를 연결하는 다리에 대해서 생각해 보도록 하자.

$$

피보나치/루카스 수열과 삼각함수 사이의 관계

사실 위와 같은 유사성이 발생하는 이유는 비네의 공식_{(Binet's formula)}으로 잘 알려진 피보나치/루카스 수열의 닫힌 형태 공식에 있다. 이 공식에 따르면, 정수 $n\ge 0$에 대하여 $F_n$과 $L_n$은 각각

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =\frac{{\varphi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}=\frac{{\varphi }^n-(-\varphi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}\\ (5)& L_n& ={\varphi }^n+{\psi }^n={\varphi }^n+(-\varphi {)}^{-n}\end{array}$$

이 성립한다. (단, $\varphi =\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$, $\psi =\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})$로 정의된 실수로써, 방정식 $x^2-x-1=0$의 두 실근이다.) 한 편, 오일러 공식_{(Euler's formula)}에 의하면, 임의의 실수 $x\in \mathbb{R}$에 대하여,

$$\begin{array}{}(6)& \sin (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2i},\cos (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{array}$$

가 성립한다. 또한 위 식을 이용하여 $\sin$함수와 $\cos$함수의 정의역을 복소수로 확장할 수 있다. 여기서 식 $(5)$와 $(6)$을 비교해 보면, $\sin (x)$와 $F_n$, 그리고 $\cos (x)$와 $L_n$ 사이의 유사성을 확인할 수 있다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명할 수 있다. $$

정리.

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

$$\cos (z_n)=\frac{i^n}{2}{L}_n,\sin (z_n)=\frac{i^n\sqrt{5}}{2i}{F}_n$$

여기서 $z_n=\frac{n\pi }{2}-i\ln ({\varphi }^n)$이다.

$$

증명. 먼저 다음 식이 성립함을 확인하자.

$$\begin{array}{rl}{e}^{i{z}_n}& =\exp (\ln ({\varphi }^n)+i\frac{n\pi }{2})\\ & =\exp (\ln ({\varphi }^n))\exp \left(i\frac{n\pi }{2}\right)={\varphi }^n{i}^n\end{array}$$

같은 방법으로 $e^{-i{z}_n}={\varphi }^{-n}(-i{)}^n=(-\varphi {)}^{-n}{i}^n$을 얻는다. 이 사실을 이용하여 $\cos (z_n)$을 정리하면,

$$\begin{array}{rl}\cos (z_n)& =\frac{1}{2}(e^{i{z}_n}+e^{-i{z}_n})=\frac{1}{2}({\varphi }^n{i}^n+(-\varphi {)}^{-n}{i}^n)\\ & =\frac{i^n}{2}({\varphi }^n+(-\varphi {)}^{-n})=\frac{i^n}{2}{L}_n\end{array}$$

마찬가지 방법으로 $\sin (z_n)$을 정리하면,

$$\begin{array}{rl}\sin (z_n)& =\frac{1}{2i}(e^{i{z}_n}-e^{-i{z}_n})=\frac{1}{2i}({\varphi }^n{i}^n-(-\varphi {)}^{-n}{i}^n)\\ & =\frac{i^n\sqrt{5}}{2i}\left(\frac{{\varphi }^n-(-\varphi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}\right)=\frac{i^n\sqrt{5}}{2i}{F}_n\end{array}$$

따라서 주어진 등식이 성립한다.$$

$$

위 정리를 이용하면, 주어진 삼각함수 공식에 대응되는 피보나치-루카스 수열 공식을 얻어낼 수 있다. 그 중 몇 가지를 아래 예제를 통해 살펴보자.

$$

예제 1. 삼각함수에 대한 항등식

$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

을 생각해 보자. 주어진 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\theta =z_n$을 위 식에 대입하면

$$(\frac{i^n\sqrt{5}}{2i}{F}_n{)}^2+(\frac{i^n}{2}{L}_n{)}^2=1$$

이라는 사실을 알 수 있다. 한 편, 위 식의 양변에 $4i^{2n}$을 곱해준 뒤 정리하면,

$$-5F_n^2+L_n^2=4i^{2n}=4(-1{)}^n$$

을 얻는다.

$$

예제 2. $\sin$함수와 $\cos$함수의 덧셈 공식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{}(7)& \sin (\alpha +\beta )& =\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )(8)& \cos (\alpha +\beta )& =\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\end{array}$$

이제 임의의 양의 정수 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\alpha =z_m$, $\beta =z_n$을 식 $(7)$에 대입하면,

$$\frac{i^{m+n}\sqrt{5}}{2i}{F}_{m+n}=(\frac{i^m\sqrt{5}}{2i}{F}_m)(\frac{i^n}{2}{L}_n)+(\frac{i^m}{2}{L}_m)(\frac{i^n\sqrt{5}}{2i}{F}_n)$$

을 얻는다. 이제 위 식의 양변에 ${\displaystyle \frac{4i}{i^{m+n}\sqrt{5}}}$을 곱해 준 뒤 정리하면,

$$2F_{m+n}=F_m{L}_n+L_m{F}_n$$

을 얻는다. 마찬가지로 $\alpha =z_m$, $\beta =z_n$을 식 $(8)$에 대입하고 정리하면,

$$2L_{m+n}=L_m{L}_n+5F_m{F}_n$$

을 얻는다.$$