Construction of Measure (1)

written by jjycjn   2016.09.20 13:06

앞으로 차례대로 올릴 포스트의 최종 목적은 실수공간 $\R$ 위에서 구간(interval)의 크기의 개념 (예를 들어, 구간 $(a,\,b]$의 크기는 $b-a$로 정의한다.) 을 자연스레 확장하면서 동시에 평행변환불변(translation invariant)인 측도를 구성하는 것이다. 다시 말해 $\R$ 위의 적당한 가측공간 $(\R,\, \mathscr{A})$에서 아래의 두 조건을 만족하는 함수 $\mu : \mathscr{A} \to [0,\, \infty]$를 정의하는 것이 최종 목적이다.

  1. 임의의 집합 $A \in \mathscr{A}$와 실수 $r \in \R$에 대하여, $\mu(A+r) = \mu(A)$.
  2. $\mu((0,\,1]) = 1$.


$(\R,\, 2^{\R})$ 위에서의 평행변환불변 측도(translation invariant measure)?

$\R$의 임의의 부분집합 $A \subseteq \R$에 대하여, 평행변환불변인 측도를 정의할 수 있을까? 먼저 아래의 정리를 살펴보자.


정리 1 ($(\R,\, 2^{\R})$ 위에서의 평행변환불변 측도)

가측공간(measurable space) $(\R,\, 2^{\R})$ 위에서 위 두가지 조건을 모두 만족하는 측도(measure)는 존재하지 않는다.


증명. (모순을 이끌어 내기 위하여) 위 두가지 조건을 모두 만족하는 측도 $\mu$가 존재한다고 가정해 보자. 이제 구간 $[0,\,1)$ 위에서, 다음과 같이 동치 관계(equivalence relation)를 정의한다.

\[ x \sim y \quad \Leftrightarrow \quad x-y \in \Q. \]

(위에 정의된 관계 $\sim$이 동치 관계임을 증명하는 것은 어렵지 않으니 생략하도록 하자.) 그러면 구간 $[0,\,1)$을 동치관계 $\sim$에 의해 생성되는 동치류(equivalence class)들의 서로소인 합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 있다. 여기에 선택공리(Axiom of Choice)를 적용하면, 각 동치류에서 하나의 원소들을 뽑아서 만든 집합 $N$을 정의할 수 있다. 이제 다음과 같은 집합들을 생각해 보자.

\[ N_r = N + r \pmod{1}, \quad \forall\, r \in \Q \cap [0,\,1). \]

그러면 임의의 $r,\,s \in \Q$에 대하여 $N_r$와 $N_s$는 서로소이다: 만약 $x \in N_r \cap N_s$이라 하면, 적당한 $n_1,\, n_2 \in N$이 존재하여 $x = n_1 + r = n_2 + s$와 같이 나타낼 수 있다. 이는 $n_1 \sim n_2$임을 의미하는데, 집합 $N$은 각 동치류에서 단 하나의 원소만을 뽑아서 구성한 집합이기 때문에, 반드시 $n_1 = n_2$이어야만 한다. 따라서 $r = s$임을 알 수 있다.


이제 임의의 $x \in [0,\,1)$에 대해 생각해 보자. 이 $x$는 적당한 동치류의 원소이다. 이 때, 이 동치류의 대표원(representative)를 $n \in N$이라 하면, 유리수 $r \in \Q$이 존재하여 $x = n+r$와 같이 나타낼 수 있고, 따라서 $x \in N_r$임을 알 수 있다. 그러므로

\[ \biguplus_{r \in \Q \cap [0,\,1)}\, N_r = [0,\,1). \]

를 얻는다. (단, $\uplus$는 서로소인 합집합을 나타내는 기호이다.) 그러면 측도의 성질 (서로소인 집합들의 (가산) 합집합의 측도는 각 집합의 측도의 합과 같다.) 과 조건 (2)에 의하여

\[ \sum_{r \in \Q \cap [0,\,1)}\, \mu(N_r) = \mu([0,\,1)) = 1. \]

하지만 (조건 (1)에 의하여) 임의의 $r \in \Q \cap [0,\,1)$에 대하여 $\mu(N_r) = \mu(N)$이기 때문에,

\[ \sum_{r \in \Q \cap [0,\,1)}\, \mu(N_r) = \begin{cases} 0 & \text{if}\,\, \mu(N) = 0 \\ \infty & \text{if}\,\, \mu(N) >0 \end{cases} \]

라 할 수 있다. 하지만, 두 경우 모두 조건 (2), $\mu((0,\,1]) = 1$이라는 사실에 모순이 생긴다.


따라서 "임의의 집합" $A \subseteq \R$에 대하여 평행변환불변인 측도를 정의할 수는 없다. 하지만, "임의의 집합"이라는 사실을 포기한다면, 다시 말해 $(\R,\, 2^{\R})$ 위에서의 측도가 아닌 "적당히" 잘 정의된 가측공간 $(\R,\, \mathscr{A})$을 고려한다면, $(\R,\, \mathscr{A})$ 위에서 평행변환불편인 측도를 정의하는 것이 가능하다.


다음 포스트에서는 어떻게 "적당히" 가측공간 $(\R,\, \mathscr{A})$를 정의하고 이 위에서 측도 $\mu$를 정의할 수 있는지에 대하여 생각해 보도록 하자.

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