에르미트 항등식(Hermite's identity)

정리. 에르미트 항등식(Hermite's identity)

임의의 실수 $x\in \mathbb{R}$와 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{n}\rfloor +\lfloor x+\frac{2}{n}\rfloor +\cdots +\lfloor x+\frac{n-1}{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor$$

증명. 다음과 같이 함수 $f$를 정의한다.

$$f(x)=\lfloor nx\rfloor -\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor$$

이제 이 함수가 $f(x)\equiv 0$임을 보이면 충분하다.

먼저 $x=x+\frac{1}{n}$을 대입해 주면,

$$\begin{array}{rl}f(x+\frac{1}{n})& =\lfloor n(x+\frac{1}{n})\rfloor -\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{1}{n}+\frac{k}{n}\rfloor \\ & =\lfloor nx+1\rfloor -\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k+1}{n}\rfloor \\ & =\underset{\lfloor nx\rfloor }{\underbrace{\lfloor nx+1\rfloor }}-\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +\underset{=0}{\underbrace{\lfloor x+1\rfloor -\lfloor x\rfloor }}\\ & =f(x)\end{array}$$

즉, 임의의 $x\in \mathbb{R}$에 대하여 $f(x)=f(x+\frac{1}{n})$이 성립한다. 또한 $0\le x<\frac{1}{n}$이면

$$0\le nx<1⟹\lfloor nx\rfloor =0$$

이고, 임의의 $0\le k\le n-1$에 대하여

$$0\le \frac{k}{n}\le x+\frac{k}{n}<\frac{k+1}{n}\le 1⟹\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =0$$

을 얻는다. 따라서 $0\le x<\frac{1}{n}$인 범위에서 $f(x)=0$임을 알 수 있다. 이제 $f(x)$가 주기가 $\frac{1}{n}$인 주기함수라는 사실로부터 $f(x)\equiv 0$을 얻고 증명이 완료된다.

예제1. (1968 IMO) 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 다음 무한급수의 합을 구하여라.

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n+2^k}{2^{k+1}}\rfloor$$

풀이. 에르미트 항등식에서 $n=2$인 경우 $\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor 2x\rfloor$이 성립한다. 그러므로

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n+2^k}{2^{k+1}}\rfloor & =\underset{k^{\prime }\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{k^{\prime }}\lfloor \frac{n}{2^{k+1}}+\frac{1}{2}\rfloor \\ & =\underset{k^{\prime }\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{k^{\prime }}(\lfloor \frac{n}{2^k}\rfloor -\lfloor \frac{n}{2^{k+1}}\rfloor )\\ & =\underset{k^{\prime }\to \mathrm{\infty }}{lim}\lfloor n\rfloor -\lfloor \frac{n}{2^{k^{\prime }+1}}\rfloor \\ ◼& & =n\end{array}$$

예제2. 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 다음 급수의 합을 구하여라.

$$\sum _{0\le i<j\le n}\lfloor \frac{x+i}{j}\rfloor$$

풀이. 주어진 급수를 $S_n$이라 하자. 그러면 에르미트 항등식에 의해 다음을 얻는다.

$$S_n-S_{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}\lfloor \frac{x+i}{n}\rfloor =\sum _{i=0}^{n-1}\lfloor \frac{x}{n}+\frac{i}{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor$$

또한 $S_1=\lfloor x\rfloor$이므로, $S_n=n\lfloor x\rfloor$임을 알 수 있다.